Division des quantités complexes

/°. — La division d'un vecteur par un autre découle immédiatement de ce qui précède.

On a :

Fig. 164.

i sm u.

n cos V

i sin V

m[cos [X ^

=rr(m ; n) [cos (ij. — v) -|- i sin (jx — v)].

En effet, le quotient doit être tel que, multiplié par le diviseur, il redonne le dividende : c'est la définition même du quotient.

^''. — Quantités conjuguées.

Nous arrivons au même résultat par une autre méthode fort intéressante.

Considérons les deux quantités dites conjuguées (voir la note du § 110) :

cos V -|- t sin V , cosv — isinv.

Elles représentent deux vecteurs symétriques par rapport à Ox et de module 1. Ces vecteurs sont inverses l'un de l'autre; on a :

(cos V -j- i sin v) (cos v — / sin v) ==- cos* v — i- sin* v = 1 . D'une manière plus générale, on appelle vecteurs conjugués les vecteurs symétriques par rapport à Oj-, dont par suite les modules sont égaux et les arguments égaux et de signes contraires :

a-\-hi, a — bi.

Leur produit est :

(a -U M) (a — bi) — a^ — i'b'- = a« + />^

C'est un vecteur couché sur Ox, ce qui est évident en vertu du § 223.

,*?". — Ceci posé, diviser par n (cos v -|- i sin v) , c'est évidemment

multiplier par — (cosv — /sinv).

On a donc :

m (cos !j. + f sin u) m , , . . > , ...

, V = — icos a-l- isin v) cos V — (smv)

n (cos V -|- i sm v) n ^ » ' > ^ '

= -^ [cos ( ti. — v) + / sin (a — v) J . •

Diviser par un vecteur de module n et d'argument v, c'est faire tourner le vecteur dividende de l'angle v dans le sens négatif, et raccourcir son module dans le rapport de ai à 1.

4''. - On retrouve les mêmes résultats en mettant les quantités complexes sous la première forme. Pour la multiplication, on a :

(a + ib) [c + id) = (ac — bd) -\- i {ad + bc). Les modules des quantités données sont :

Le module du produit est :

y/(âc — bdf-{-{ad -fbcY = y/â}c^ + d^b*'-fa*d^^b^d' — \'Ja*-^h*)l^^^^^ Les arguments des quantités données sont :

jx = arctg(Z> : a), v = arctg((/ ; c). L'argument du produit est :

Sivcig [{ad -\- bc) : {ac — />(/)] = ij.-|-v,

comme on le vérifiera en appliquant la formule du § 60. 5". — Passons à la division :

^r+jb (a -M/Ojc— JJ) (ac-^bd) + i{bc — ad) c4-id~~{c-\-id){c — id)~~ ' c^ + d^ •

THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES 269

On vérifiera que le module du quotient est bien égal au quotient des modules, et son argument égal à la différence des arguments.