Formule de Moivre

Élever à la puissance m, c'est multiplier m fois l'unité par la quantité donnée. Les règles de la multiplication sont connues; les règles de l'élévation aux puissances s'en déduisent immédiatement. On a :

(cos X -\- i sin x)"' = cos mx -\- i sin mx.

Identifions dans les deux membres les quantités réelles et les quantités imaginaires, après avoir développé par la formule du binôme.

Il vient :

cos mx = cos'" X —

m(m — 1) „^ ., -21 — \ — T) — - cos"* ~ - X sm^ x-\- ...

sin mx=^

— j- cos"* ~ ^ X sin X —

mim—i) [m — 2) „^ „ .

- — ^ — f- 1-3 ^ cos"* - ^ ^ SI

cosmx et sinmx s'expriment donc en fonction rationnelle de sina; et cos^.

cos mx pe contenant que des puissances paires de sin a?, s'exprime rationnellement en fonction de cos.r. Au contraire, sin m.r ne s'exprime rationnellement en fonction de sin x que si m est impair.

En particulier, on a :

cos 2x = cos- X — sin-x, sin 2j? = 2 cos x sin x ;

cos 3iP =: cos^ X — 3 cos X sin- x^ sin 3.r = 3 cos^ x sin x — sin^ x ;

cos htx =z cos*^ X — 6 cos- X sin^ x -\- sin^ x ,

sin 4a7 = 4 cos^ x sin .x — 4 cos x sin^ x.

Ces formules peuvent s'établir sans employer les imaginaires, mais d'une manière moins élégante.

226. Développement des puissances du sinus ou du cosinus. Application : résolution de l'équation du troisième degré.

Posons : u^=cosx-\-isinx, v=:zcosx — Ismx.

u et V sont conjuguées : uv = 1 . On tire de là :

2cosx = u-\-v, 2is,mx=u — v.

D'où : 2"* cos''* X = {u -\- u)"*, (2i)"* sin'" x = {u — u)"*.

Ces formules contiennent la solution du problème. Nous ne chercherons pas les expressions générales de cos"'ic et de sin"* a? qui n'ont aucun intérêt. Nous ferons seulement le calcul pour les valeurs les plus simples de m.

On a : u^ =z cos px -\- i sin px , if = cospx — isinpx;

u^-\-v^ = 2 cos px , u^ — v^ = 2i sin px.

i 6 cos* X = u'^ + t^* + ^uH^ -\- h^v^u + iw^u^ = 2 cos 4.r + 8 cos 2x -j- 6, 8 cos* x = cos ix-\- Ik cos 2x-{-3', 1 6 sin* X = w* -|- v'' — kii^v — iv^ii -\- ^v'^u" = 2 cos ix — 8 cos 2x -|- 6, 8 sin* X = cos 4ir — 4 cos '2x -|- l\.

8 cos^ x=zu^ -^v^-\- Su^v -|- 3r-// = 2 cos 3^- -[- ^ cos 2x^ 4 cos^ .r = cos Sx -\- 3 cos x ; — i 8 sin ' r :^ u^ — v'^ -\- liv^u — 3?/-r = 2/ sin 3.r — 6/ sin .r, 4 sin^ ./■ = — sin 3x -|- 3 sin ./•.

4 cos^ X = u- -\- ?'- -j- 2iiv — 2 cos 2.A -|- 2, 2 cos- x =rr cos 2x -\-\ ; — 4 sin- X = z/- -|- t'- — 2//Î' r^ 2 cos 2x — 2, 2 sin- ./• = — cos 2x-{-{. 4°. — Application : »u:soij tion di: i/koiation x^ ~\~ px -\- q t= Çs ^

DANS LE CAS OL LES THOIS UACINKS SONT HÉIXLES ( CAS IKRÉDUCTIBIJ:)

(comparer au .^ 371).

Supposons /> négatif et y assez petit, c<»ndition que nous montrerons nécessaire pour que les trois racines soient réelles. Ecrivons donc :

.r:.p.r-j-r/=:rO. ' (i)

1^ osons :

= 2^/4^. es,, y = -2y^.cos:ia. (2)

La seconde équation délinit l'angle 3a par son cosinus ; la première donne x. En substituant les valeurs de x et de y dans Téquation (1), on trouve une identité en vertu du t^**.

Pour que Tangle 3a soit réel, on doit avoir :

cos^ 3a < 1 , 21q- — 4P3 r= 27r/- + 4/>3 < 0 .

L'angle 3a, n'étant délini que par son cosinus, a une inlinité de valeurs (§ 50). On vérifiera que, pour ces valeurs, cos a prend trois valeurs généralement difTérentes et trois seulement. Voici un exemple simple pour fixer les idées. Soit :

rr^ — 3x + 2 = 0; P = 3, q = 2: cos3:t = — 1.

On peut prendre :

3a = 7:, :z=:z : 3, .r = 2cosa=l;

3a=37:, a = z, x=rrz — 2;

3ar=zr)r, a = 57::3, ^=1.

THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES

Ainsi Féquation admet la racine double .r = 1 , et la racine simple — 2, ce qu'on vérifiera par substitution.

227. Équations binômes; extraction des racines d'une quantité complexe.

i°. — Soit k résoudre l'équatiou :

r"* = cos a -]- i sin a , .r = \/cos a -|- i sin a .

Par définition, il faut trouver un vecteur OR qui, élevé à la puisiance m, reproduise le vecteur donné OP , de module 1 et d'argument a (%. 165). Je dis qu'il en existe m différents, de module 1 et dont les arguments f]/o, 'i/i, ... 'l)m-, ,

rentrent dans la formule :

2kT.

Fig. 165.

En effet, élevé à la puissance m , le vecteur de module i et d'arg-ument ^^., donne un vecteur de module 1 et d'argument :

mà,,=::QL-\-2k7: , qui se confond avec le vecteur donné OP .

La figure 165 suppose ni=3.

^°. — Soit l'équation : r'" r= p (cos a -\- i sin x).

On peut toujours supposer p positif (§ 222, /"), en choisissant convenablement l'angle a. On a pour solutions :

%• == Vp (cos6 ,. -f- i sin ^i) ;

\/p est la racine m*^^*' arithmétique de p.