Équation du second degré

/". — Soit à résoudre Féquation où p et q sont réels :

Les racines sont : 3 =

vî-

Portons sur Ox (fig. 166) une longueur OB = — p \ 2 (nous supposons /) <C 0 et nous le laisserons invariable dans notre discussion).

Tant que les racines sont réelles (c'est-à-dire tant que q est néga-

tif, OU positif et assez petit) , elles sont représentées par des vecteurs Olr* et OP qui aboutissent à deux points P et F' situés sur Ox et équidistants de B.

Si p- — 47 = 0, les points P et P' se confondent avec B; les racines sont égales.

5°. — Supposons enfin />- — 4(7<C0; les racines sont imaginaires.

Écrivons :

Pi "4 •

q est positif; prenons 0C = v/<7 • «le dis que z est représenté par Tun ou Tautre vecteur ()A, ÛA . En effet, la partie réelle de ces vecteurs est DB = — /> ! 2 ; la partie imaginaire est :

BÂ ou BÂ7 ^ — BA.

On a :

(TA^' = DB^' + ÂB^ ; ÀB = \/( ) A^ — OW=\Jq — ^ .

Ainsi les deux racines ont le module \Jq indépendant de p.

L'angle a qu'elles font de part et d'autre de Ox, est donné par la relation :

cosa = — p ; 2\lq .

."?'*. — Montrons directement que le vecteur OA est une racine de l'équation.

L'équation symbolique :

exprime que la résultante des trois vecteurs 3^, pz, 7, est nulle.

Construisons-les.

Le vecteur représentatif de q est 00.

On a : n\oà. z = yjq , mod.;;-=ry.

Puisque z fait l'angle a avec Oa?, z^ fait l'angle 2a. Donc le vecteur représentatif de 3- est OF .

p étant réel, le vecteur représentatif de pz a la même direction que le vecteur z. Nous avons supposé /><lO; donc pz est dirigé

cm P • a' /