Généralisation : théorème de d'Alembert

/". — Généralisons d'abord pour l'équation du 2^ degré. Nous supposons dans ce qui précède que p et q sont réels. Si p et q sont complexes, on démontre immédiatement qu'il existe encore deux racines : on peut trouver deux vecteurs tels qu'utilisant l'un ou l'autre, la résultante des trois vecteurs s-, pz^ y, est nulle. Toutefois, si p et q ne sont pas réels, les racines ne sont plus conjuguées^' elles ne sont plus de la forme a + bi.

;^°. — Passons au cas le plus général.

On démontre qu'une équation de degré m : A2'" + B2"'-^-f-... = 0, dont les coefficients A, B, ... sont réels ou complexes, admet ni racines réelles ou complexes. C'est dire qu'il existe m vecteurs tels quen utilisant l'un d'eux, les vecteurs A:;"*, Bz.'""^ ... ont une résultante nulle.

Si les coefficients A, B, ... sont réels, les racines sont conjuguées deux par deux (de la forme a^f^Z^j); les vecteurs représentatifs des racines sont deux par deux symétriques par rapport à Taxe des quantités réelles.

Nous retrouvons les propositions des §,§ 39 et suivants. Puisque les racines imaginaires vont deux par deux, toute équation de degré impair à coefficients réels a certainement un nombre impair de racines réelles; toute équation de degré pair à coefficients réels a certainement un nombre pair de racines réelles.

3". — Enfin on démontre la proposition connexe : Tout polynôme de degré m à coefficients réels ou imaginaires est décomposable d'une seule manière en m facteurs du premier degré de la forme z — {a-\-bi)\ la quantité complexe a-f-bi est une des racines du polynôme égalé à zéro (§ 40).

Coui's de Mathématiques générales. — H. Douasse. IS

27 i COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

Précisons le sens de cette proposition sur le polynôme du second degrv : z^- -\- 6s -'^ 25 = {z -\- 3 — ii) (z + 3 + 4i;.

Les racines du polynôme égalé à zéro sont représentées par les vecteurs OA, OA', symétriques par rapport à Ox ffig. 167'.

Soit un vecteur arbitrairement choisi z = 07j. On a :

ÔB =6T-\-1B r^OZ — OA =2 + 3 — 4/,

OB' = OZ + ZF == 0 Z — OÂ =r 3 + 3 -[- t / ;

DÂ = — 3 -[- ïi , OA' = — 3 — 4/.

Les additions et soustractions sont géométriques. La proposition énoncée si«^niiie que le vecteur, produit des vecteurs

OB, OF, est la résultante des trois vecteurs z-, pz, y, où z est le vecteur OZ arbitrairement choisi.

Nous énonçons ces propositions (dont le plan de cet ouvrage nous interdit la démonstration), d'abord pour généraliser les idées, surtout pour habituer le lecteur i\ l'emploi des imaginaires dont le rôle d'outil augmente tous les jours. Le lecteur les vérifiera sur les équations binômes (^ 227) pour lesquelles les racines sont immédiatement calculables.