Exponentielle d'une quantité complexe

1". — Jusqu'à présent nous n'avons pas attribué de sens au syn; bole e^% où x est une quantité réelle. Nous sommes libres évidemment de nos définitions; mais cette liberté disparaît si nous posons que les règles du calcul des exponentielles réelles doivent s appliquer aux exponentielles complexes .

Montrons que nous sommes obligés d'écrire :

e" = cos X -{- i sin x. ( 1 )

Nous vérifions d'abord la règle de multiplication (et par suite de division, d'élévation aux puissances, d'extraction déracines. On a conformément à l'équation (1) :

e^ . e*" =: e*^' ^ "^ = (cos x -|- i sin .r) (cos // -[- ^ sin y)

=: cos {x-{-y)-\-i sin {x^y .

Fit,'. Ki

THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES 275

'2°. — Mais nous savons que la propriété fondamentale des exponentielles est la conséquence de Féquation dillerentielle qui les définit. Voyons ce que devient celle-ci dans le cas des quantités complexes. Pour les quantités réelles, on a :

de'^ = ae''' dx,, où a est réel.

Les opérations algébriques restant les mêmes (pa?^ convention) pour les quantités complexes que pour les quantités réelles, les règles de dérivation demeurent inaltérées, puisque dériver revient à effectuer une différence, puis un quotient.

On aura donc pour les quantités complexes :

de'' = ie" dx , ce qui est conforme à l'équation (1), puisque :

d (cos X -\- i sin x) = ( — sin x -j- i cos x) dx = i (cos x -j- i sin x) dx.

Les deux fonctions qu'identifie l'équation (1), auront donc toujours même dérivée. Elles sont égales entre elles pour .r = 0 ; elles seront donc toujours égales. En définitive^ si nous voulons donner un sens au symbole e% ce ne peut être que celui défini par la relation (1).

Remarque 1.

La fonction e'' est périodique et de période 2t.. On a en particulier (traduire le symbole exp. par exponentielle) : ,

exp [i 'Àfi-iz) = 1 , exp f i 2k7: -j- i -^

exp (^2/1-^;-^ i-) = — L exp( i2A:'jî-|-/-^j = — i.

Remarque II.

Toute quantité complexe peut se mettre sous les formes équivalentes, où a et [i sont supposées réelles :

gPgia ^p + ia . (cos a + i sin a) = a -f- />i ;

Nous avons dit qu'on peut toujours prendre p positif; son logarithme est donc parfaitement défini.