Logarithme d'une quantité complexe

Le paragraphe précédent ramène l'exponentielle d'une quantité complexe à la forme a-\-bi, c'est-à-dire définit l'exponentielle d'une quantité complexe, nous permet de représenter sa valeur sur le plan. Nous avons :

eP + ia ^ gPgta ^^j^j^i^ ^P(cos a -L i sin a) . (1 )

Pour définir le logarithme d'une quantité complexe, nous poserons : p|^-^^log(^|^-)

Or on a par identification des équations (1) :

e^ = v^a^ + />% i3 =r lo^- ^a^- + />^ .= -^ log (a^ + b^) .

a est défini sans ambiguïté par son cosinus et son sinus, le radical devant être pris avec le signe -[-; a est donc défini à 2kT. près, où A: est entier. Appelons a une valeur possible; il vient en définitive :

log {a + bi) = \ lo- (a' + />M + / {2kT. + a).

Une quantité quelconque, serait-elle positive^ a donc une infinité de logarithmes, puisque le nombre entier k reste arbitraire; posant A:=:0, on retrouve le logarithme ordinaire. En particulier :

log 1 ==/ . 2/fz, log(— [) = i[2k-\-i)T.,

log (— a) := log a 4- log (— i) =r log a -j- t (2/f + 1 )::. Ainsi sont introduits les logarithmes des quantités négatives. 232. Fonctions circulaires d'une quantité complexe.

/". — (Comparons les lormulcs :

ces X = ^ ' ^"^ •^- = 2i ' tg ^ = t(e"^-i,e-") '

aux formules qui définissent les fonctions hyperboliques (^ 212) : c' 4- ^' "^ . , e'' — ^ "' , e" — p "'

COSll .V = Tj , SHHl X =: ^ , tgh X =z

Les fonctions hyperbolicjues, étant composées d'exponentielles, sont définies pour des valeurs complexes de la variable (§ 230); nous pouvons donc remplacer x par ix dans le second groupe de formules. Le comparant alors au premier, il vient :

cos J7 = cosh /.r , i sin .r — sinh /.r , iig x = igh ix.

^°. — Admettons la (jénéraiUé de ces formules; appliquons-les à une quantité x purement imaginaire. Remplaçons x par ix.

cos ix = cosh i^x = cosh ( — x) = cosh x , i sin ix = sinh i'^x = sinh ( — x) = — sinh x , sin ix = i sinh x ;

tg ix = sin ix ', cos ix = i tgh x. 3"". — Généralisons pour une quantité complexe quelconque : sin [x -\- iy) = sin x cos iy -|- cos x sin iy =z sin .r cosh y -\- i cos a? sinh ?/. cos {x -[- iy) = cos X cos iy — sin j:- sin iy = cos j: cosh î/ — - i sin x sinh y . Ainsi les fonctions circulaires des quantités complexes sont ramenées à la forme a ~[- bi , par suite deviennent représentables par un point du plan.

THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES 277