Arcs en progression arithmétique

Soit à calculer les sommes :

Sir=cosa-f-[^cos(a + ^)+... + p'""^ cos [a + (m — 1)S],

S2 = sin a + .3sin (a + 5) + ... -f ^'"-^sin [a + (m — 1)3],

de m cosinus ou sinus dont les arcs sont en progression arithmétique, et dont les coefficients sont en progression géométrique.

Pour cela , calculons la somme :

2^128 j 4 gm — 1 ei{m — ! )5"

La quantité entre crochets est une progression géométrique. Une formule élémentaire (§ 24S) donne :

A omJmB

Il suffit d'identifier dans les deux membres les quantités réelles et les quantités imaginaires. Pour éviter les calculs inutiles, nous ne traiterons que deux cas particuliers.

i°. — [3 est positif et petit. Quel que soit m (pourvu qu'il soit assez grand), on ne commet qu'une erreur insignifiante en posant g^r^rrO. D'où aisément :

ç,, (1 — ^ cos S) cos a — 3 si n ^ sin a

^, (1 — P cos B) sin a -f- 3 sin S cos a ,^y.

^' — l-]-[i^ — 2^coso ~~ • ^^^

Dans les applications optiques, on utilise la somme des carrés des coefficients de cos a et de sin a dans les deux expressions précédentes. Evidemment la même pour S'^ et S^, elle est égale à :