i-f .3^ — 2(3cosa
^°. — Le second cas intéressant est celui où le nombre des termes est quelconque, mais où l'on a ^ = \. Nous avons affaire à une série d'arcs en progression arithmétique :
On met cette expression aisément sous les formes :
s = exp i 1^^ + ____ sj 1^ exp ^ exp {- -g-j J
: exp ~ — exp (— -^j ;
S = [cos [a + -'"--!,) +. i sin (« + - -I5)] [sin -f ; s.n |J .
Séparant les quantités réelles des imaginaires, on a :
^ / m — 1 \r . mo . . c~| bi = cos I a -^ ô 0 1 sin ,j . sin -^ ,
^2 = sin ^ a -| g s I sin 2 • sm ^ •
En particulier si a == 0 , on a :
S'i = 1 -j- cos ô -|- . . . -[- cos [m — 1 )c , S';=0 4-sin a+... + sinfm — 1)S.
bi = 4^ 1 -]- sin T/ - - 0 . sm -^ ,
cos-g-
lim
cos
. sin .
Krppéseiitalioii ronfonno.
234. Fonction des quantités constitutives d'une variable complexe.
/". — Tout point A (lu plan ./()?/ est délini par ses coordonnées
cartésiennes : .r, y,
jH
JC
ou polaires :
On j)eut aussi bien le considérer comme défini par la quantité complexe (fig. 168^:
z=:j-\-iy=:r (cos 2-\- /sina).
Quand le point se promène sur une courbe MN. la quantité complexe varie. En particulier, du point A au point voisin H, elle augmente de :
dz^XB=ÂC + CB,
liz =-^ dx f- idy .
Cette différentielle représente ^ d'après nos conventions, non pas l'arc de courbe, mais la corde. Du point A au point N quelconque, on a :
r dz = (on; — Oâ;) -f /(on: — OA^) ^- corde AN.
D'où cette proposition fondamentale, du reste évidente : quand on passe d'un point à l'autre du plan, la variable z subit une variation indépendante du chemin parcouru.
9°. — Considérons un second plan que nous appellerons plan des w\ posons : w = (^ -\- i'I = ^ (cos 0 -j- i sin 6) .
Kig. 16H.
THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES
o et ^ sont des quantités réelles. Chacun des points du plan iv est défini par une valeur de 7v, c'est-à-dire par une valeur de o et une valeur de 'J; (fig. 169).
Il s'agit de relier les points du plan z aux points du plan w.
;i". — On pourrait prendre pour o et •!> des fonctions arbitraires de .T et de y ; la correspondance entre les points des deux plans serait parfaitement déterminée. A une courbe Z du plan z correspondrait une courbe W du plan iv.
Pour fixer les idées par un exemple, soit la correspondance :
A. — Considérons, dans le plan;:, les droites passant par l'orig-ine : y = a,T. Cherchons les courbes conjuguées dans le plan iv. On a :
o = .T, 'i) = 2ax; 'li = 2ao.
ce sont des droites passant par l'origine du plan w.
B. - Considérons, dans le plan s, les cercles : y~-\-x-= R-. Dans le plan u\ les courbes correspondantes sont les ellipses :
Et ainsi de suite.
4". — Mais quand q et 0; sont choisies arbitrairement, il n'existe pas entre les courbes Z et les courbes W de relation intéressante. Aussi se borne-t-on à considérer des correspondances plus particulières, mais d'intérêt fondamental.
