Existence d'une dérivée

— Supposons que le rapport div ; d:

ait une valeur complexe

u; = ^riip

bien déterminée pour tout point A du plan z, par suite pour tout

point A' correspondant du plan w. Étudions les propriétés des

correspondances jouissant de cette propriété (fig. 169).

Poser : dv>z=dz . sicosc

i sin c

c'est dire qu'on obtiendra le vecteur A'B'= c/ir, à partir du vecteur ABr=:(/2, en multipliant le module de ce dernier par s, et en augmentant son argument de l'arc 7.

Il résulte de là que si l'extrémité B du vecteur dz décrit une circonférence de centre A, l'extrémité B' du vecteur div décrit une circonférence de centre A', et avec la même vitesse angulaire.

En effet, 5 et 7 ne dépendent par hypothèse que du point A et non de la direction AB considérée.

Soit : dz = m (cos ;j. -|- i sin |j,) , div = n (cos v -|- i sin v) .

On doit avoir : dw =: dz . s f cos c -\- i sin a) , ce qui implique :

n --=^ ms , V = •/ -|- 7.

i^". — Considérons maintenant deux accroissements AB, AC, de dz à partir du même point A. Il leur correspond pour tv deux

accroissements A'B', A'(y , à partir du point A'. On a :

vi =^ ij'i + 7 , ^ = y- + ^ ; vi — V = (7-, — jj..

Donc à deux courbes quelconques qui se coupent en A dans le plan z sous un certain ant/le, correspondent dans le plan w deux courbes qui se coupent en A' conjugué de A sous le même angle.

Les figures formées dans les deux plans par deux systèmes de points conjugués sont semblables dans leurs éléments infiniment petits.

C'est à cette propriété que les modes de correspondance ici étudiés doivent leur nom de représentation conforme.

236. Représentation conforme. Fonctions conjuguées. /". — Cherchons comment sont reliées les fonctions o et 'l pour qu'il existe une dérivée unique pour chaque système de points conjugués; par suite, que la représentation soit conforme. On a :

'^'^' = ^x '^'' + "^îJ '^'f + ' ijui ''•'' + Ô^ "^'f ) ^ " (^""^ ' + ' ^'" ')* (^ )

De la relation : dz^zz^dx -\-id}i ^=z m [cos \j.-\-is\n\i.) ^

on tire : dx =z m cos [i, , (/// ^^ m sin a.

Identifions les deux membres de l'équation (i) en remplaçant dx., dij^ par leurs valeurs, et en posant v==|x-|-'7. Il vient:

-. \- m cos {JL -|- >. ^ m sin ;j, rrr n cos (;j. -|- 7) -= n cos z cos y. — n sin t sin v..

-s— m cos [j. -\- -^ m sm ;;. = n sm (;j. -]- a) = n sin z cos .). -\- n cos 7 sm p..

1) ou : -^ =^ — cos z , — X ' = — sin <7 ;

Ox m ' Oî/ m '