sine, -T-^= — cos
ôj- m ' Oî/ m
THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES ' 28t
T^^ ^ C . ^? M ^? M /Ox
Douenfm: ^==^, ô^ — ^- (2)
Telles sont les relations qui doivent exister entre cp et ^. On a les relations équivalentes :
^09,^^ ^ ^^ I ^^ 0- iXs
hx ùy ' ba? ôî/ ' àx àx ~^ 6y ày ' ^ '
hxj ~^\àyj ~\àyj ^\hx
Quand les conditions (3) sont satisfaites, la dérivée dw '. dz, est complètement déterminée et ne dépend que du point A.
On peut donc la calculer au moyen d'accroissements de la variable parallèles aux axes. D'où les relations :
dw ùw ^w . ^w ^ hw . ^w ,„.
dz àx à{iy) ^ ^2/ ' ^y ^ àx ' ^ ^
Ces dernières formules signifient que si au vecteur ^AD parallèle à l'axe 0^ correspond le vecteur AD', au vecteur aC parallèle à Oy correspond le vecteur AC égal et normal à AD'.
C'est en effet le rôle de l'opérateur i de faire tourner un vecteur de t: ; 2 dans le sens positif.
^°. — Fonction d'une variable complexe.
Les conditions équivalentes (5) conduisent à la notion de fonction d'une variable complexe, telles signifient, comme nous allons voir, que o et i'^ sont, non pas des fonctions arbitraires de x et de ?/, mais la partie réelle et la partie imaginaire d'une fonction :
io = f[z) = f[x-^iy),
qui dépend, non de x et de ?/ séparément, mais de la combinaison x^iy.
On a dans cette hypothèse :
^^df ^df b?/^ J/ b£ . df
^x dz àx dz ' ôî/ dz ùy ^ dz '
relations identiques aux équations (5).
Les fonctions (p(a?, ?/), >^[x, y), qui se déduisent comme il vient d'être dit d'une fonction quelconque f (z) z=: f {x -\- iy) , sont dites conjuguées.
o"- — Comme exercice, nous conseillons au lecteur d'étudier la transformation :
^v = cp -f- i'I^ = log z = log [x -\- iy) ,
dans le cas simple où le point A décrit un cercle de centre 0. Le point correspondant A' décrit une droite parallèle O'^J;. La construc-
tion lui fera comprendre en quel sens le lo^^arithme est une fonction périodique. Il étudiera de même la fonction :
dans le cas où .r est une quantité réelle variant de — ^ k -[- :>c.
237. Transformation par rayons vecteurs réciproques (inversion).
Prenons pour transformateur la fonction :
iv z= , pi cos 0 -;- i sin 0) = / . -■-"■ r^= — (cos a — i sin a).
2 ' f^ ' ' /'(cos a -f- « sm a) r ^ >
D'où les conditions : p/=A-, 0 = — a.
La transformation consistera donc à changer le rayon vecteur en
son inverse, et à prendre la symétrique de la figure obtenue par rapport à l'axe Oo. Mais comme le changement d'une figure en sa symétrique ne change pas les angles, nous arrivons à ce théorème fondamental :
p. |„Q la transformation j)ar rayons vecteurs
récipro(/ues est conforme; autrement dit, (Iru.f sijstèrnes do points conjuf/urs par inversion constituent des figures infiniment petites semblables.
Remarque.
Nous déduisons les propriétés de 1 inversion de la méthode générale, pour habituer le lecteur aux (|uantités imaginaires. Il est facile de les établir directement.
Considérons deux points A, B, et leurs inverses A', B'. On a par
hypothèse : ()A . ÔÂ = OB . UB' -- 0\
Donc le quadrilatère ABB'A' est inscriptible. Les angles marqués : sont égaux.
Si les points A et B deviennent très proches, les droites OA, OV se superposent. Les droites AB et A'B' deviennent les tangentes au> points homologues de deux courbes inverses. Donc ces tangentes fon le même angle (en sens inverse) avec le rayon vecteur.
Supposons que le point A soit commun à deux courbes; le point A conjugué de A sera commun aux inverses. Il résulte de la proposi tion ci-dessus démontrée que deu.r courbes se coupent sous le mêni angle que leurs inverses.
Voici d'abord quelques exemples usuels de transformation pa rayons vecteurs réciproques. La courbe à transformer étant unique les propriétés de la transformation conforme n'apparaissent natu rellement pas.
THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES
/". — Transformée d'un cercle.
Nous pouvons, sans diminuer la généralité du problème, mettre e centre du cercle sur l'axe Ox. L'équation est :
c2 j ^2 __ 2ax — R2 -f a^ = 0, r- — 2ar cos a — R^ -] a^- = 0. (1)
La courbe transformée est :
R2).2/,22apcos6 + /t^=r0. (2)
C'est également un cercle dont le centre est sur l'axe Oo.
Si le cercle (1) passe par l'origine, (R- = a^), le cercle (2) se transforme en une droite parallèle à Od;. 11 y a naturellement réciprocité dans la transformation.
Nous reviendrons plus loin sur ces figures (§ 238).
^°. — Transformée d'une hyperbole équilatère ayant l'origine POUR centre.
'2xy = a-, 2r- cos a sin a = r~ sin 2a = a- ;
/à sin 26 : f = a-, a^f = k^ sin 20.
La transformée est une Lemniscate de Bernoulli. La figure 171 n'en représente que la moitié.
Zemn/scate deMernou///
Fig. 171.
Fig. 17'.
Transformée d'une parabole passant par l'origine. y^ = '^px , r sin^ a = 2/) cos a ,
k^ sin^ 6
: 2/) cos 0 , ^^=-k-
sin^e
p ^ ' ^ " 2/)cose *
La transformée est une Cissoïde de Dioclès (fig. 172). Elle admet une asymptote verticale qui correspond aux points de la parabole voisins de l'origine. Son point de rebroussement correspond aux points à l'infini de la parabole (§ 124).
4". — Transformée d'une conique ayant un foyer a l'origine. Les coniques rapportées à leur foyer ont en coordonnées polaires l'équation générale (§ 177) :
1 ~\-e cos a
<? < 1 pour l'ellipse; ^=1 pour la parabole; e>l pour l'hyperbole.
L'équation de la transformée est donc :
po = k%[-^ecosb). (2)
C'est un Limaçon de Pascal. La courbe ne passe par l'origine (p=rO) que pour la parabole (point de rebroussement), et pour
l'hyperbole (point double ordinaire).
L'équation d'un cercle passant par l'origine est :
pp = /tVcos 6.
On peut donc définir le limaçon comme obtenu à partii d'un cercle passant par l'origine, en prenant sur le rayoi vecteur OA et de part e d'autre du point A du cercle une longueur invariabL ÀB = AB' (ici représenté»
par h- : />; voir J^ 144).
Si la longueur AB est supérieure au diamètre, la courbe ne pass< pas par l'origine (transformée de l'ellipse). Si elle est égale au dia mètre, la transformée y a un point de rebroussement (parabole Enfin si elle est inférieure, on a la courbe représentée dans 1 figure 17)i; elle est l'inverse d'une hyperbole.
