Faisceaux de courbes orthogonales; inversion
Prenons dans le plan 3 deux faisceaux de courbes orthogonales . c'est-à-dire se coupant toutes à angle droit. Les courbes correspon dantes dans le plan tv se couperont également à angles droits ; c'e^ l la conséquence de la représentation conforme.
On voit l'importance de cette proposition dans les nombreus* questions d'Hydrodynamique, d'Acoustique, d'Electricité, de Magnt tisme (lignes équipotentielles et lignes de force), où l'on a besoin ( ' connaître des faisceaux de courbes orthogonales. Naturellement noi s choisirons dans le plan z les faisceaux de courbes les plus simple^ . par exemple :
Fig. 173.
THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES
/° les droites parallèles à Ox et les droites parallèles à Oy ;
^° les droites passant par un point et les cercles ayant ce point pour centre.
Utilisant comme transformateur une fonction quelconque f[z), nous obtiendrons dans le plan w deux nouveaux faisceaux de courbes orthogonales.
Usons d'abord de la transformation par rayons vecteurs réciproques.
/°. — Les droites parallèles à 0^ donnent des cercles tang-ents à 0(p ; les droites parallèles à Oy donnent des cercles tangents à 0<]). Les deux faisceaux de cercles obtenus sont formés de courbes orthogonales. Nous laissons au lecteur le soin de faire la figure et de discuter le problème.
:^". — Prenons comme centre d'inversion le point A et transformons le faisceau de droites qui se coupent en M, et • ^
le faisceau de cercles qui ont M pour centre (fig. 174).
Soit B le transformé du point M. Les cercles qui résultent de la transformation des droites MF, doivent passer tous par le centre d'inversion A et par le point B. Leurs centres se trouvent donc sur la droite OE élevée normalement à AB au point 0 milieu de AB.
Il est facile de voir que les cercles qui résultent de la transformation des cercles de centre M, admettent cette droite OE comme axe radical (§ 88). En effet, soit AM = a.
Les cercles transformés ont pour équation (§ 237) :
(a^- — R2) {f -f- f~) — 2a(p + 1 r=: 0 . L'origine des coordonnées est actuellement en A. Transportons-la en 0. On a : A:^ = l; AB = l:a, AO=^i :2a.
Il faut remplacer dans l'équation précédente o par (o^i) ; 2a.
Fig. 174.
On trouve
équation qui est bien de la forme voulue (§ 90) pour que OE soit axe radical.
En définitive, nous retrouvons les faisceaux de cercles étudiés au § 90 et représentés dans la figure 66.
239. Faisceaux de courbes orthogonales ; transformation iv"" = kz .
Choisissons comme transformateur la fonction : w'* = kz.
?/;*• = (o + ^'Yr = p" (cos n(i-\-i sin nb) = k(x -\- iy) ;
p" cos nh = A.r. g" sin /i6 = ki/. (1 )
Prenons pour courhes orthof/onales dans le plan z les droites parallèles à Ox et à Oy.
Une droite parallèle à O.r est définie par une valeur y^ de y ; la valeur de x reste arbitraire.
A cette droite correspond dans le plan w une courbe :
û"sin/?0 = A7/0. (2)
De même à une droite parallèle à ()// et définie par une valeur j:,, de .r, correspond dans le plan //' une courbe :
f Qosn()=zkxQ. (3)
Les courbes des faisceaux ['!) et (3) sont orthogonales. Dans ce qui suit , nous écrirons x et // au lieu de x^^ et y^ \ nous poserons : /c=r 1 .
j\ — /i zrr 1 .
Les faisceaux (2) et (3) dans le plan w sont les droites parallèle^ à Oo ot {\ 0'^
î^°'. — « = 2. On a :
Les courbes dans le plan w sont : les hyperboles équilatères asym}>totes aux bissectrices des axes, les hyperboles équilatères asymptotes aux axes. On les obtient en donnant à x et y diverses valeurs.
Les faisceaux de courbes orthogonales sont constitués par de.s leniniscates.
Les lemniscates se présentent dans la solution du problème général suivant : on demande le lieu des points tels que le produit de leurs distances ù deux points fixes F et F' soit constant (§ 399).
Déterminons le milieu 0 de FF'. Si le produit constant est égal à OF*', l'origine appartient au lieu cherché; par définition, la courbe est alors une leniniscatc.
On peut écrire la première équation (4i :
[(-.4 )'+*•] [('+wT+*-]=^l-
THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES
Elle exprime que la courbe est le lieu des points dont le produit .es distances aux points F et F' tels que 0F = 0F'=:1 ; ^2x , est onstant et égal à 1 ; 2x.
On vérifiera : 1° que les tangentes à l'origine sont les bissectrices
Fig. 175.
des axes ; 2" que les maximums de 'l sont sur le cercleMe centre O et de rayon OF.
On peut écrire la seconde équation (4) :
Elle exprime que la courbe est le lieu des points dont le produit des distances aux points F^ et F'^ est constant et égal à OF/.
