III

On peut aussi obtenir cette formule à partir de (II) en posant identiquement t=:y^ ou de (IF) en posant identiquement t = x.

Dans le premier cas, dy [ dt={, d^y \ dt'=^0;

dans le second cas, dx ', dt=\, d-x '. dt* = 0.

^°. — Continuons pour le troisième ordre. Posons maintenant :

dh/ dHj dp dp dt

P~~~dj^' 'xd^~'dx'~~dT'dx

Remplaçons p par son expression indiquées :

II) et effectuons les dérivations

dx d

[fdxVd^ \dt) dt' ^^ dt dt

^ X d^y dy / d-x

dt'

dt \ dt'

dx dy d^x Wdt^

(IV

Et ainsi de suite.

Application.

Nous rencontrerons sous le nom de rayon de courbure une quantité qui a pour expression (§ 17^

d^ ~dx'

Supposons y et X exprimés au moyen d'une variable t. Négligeons d'écrire les dénominateurs; p prend la forme :

p = ± [dx' + dtf] ' : [dxdhj — dyd'x].

21. Dérivées de différents ordres pour une fonction de plusieurs variables indépendantes.

Soit la fonction : z = f[x, ?/, t, ...), de plusieurs variables.

Pour calculer les dérivées de divers ordres, appliquons le principe

fondamental du § 9. Laissant toutes les variables fixes sauf une,

X par exemple, nous regarderons z comme fonction de la variable

unique x et calculerons ses dérivées successives par rapport à x

d'après les règles énoncées.

hz Supposons la dérivée première obtenue : -j~. C'est encore une

fonction de x, ?/, t^ ... dont nous pouvons chercher la dérivée par rapport à une autre variable, 1/, par exemple.

Nous obtenons ainsi dérivée partielle seconde () bz by àx '

que nous écrivons

byàx ' Montrons eue l'ordre des différentiations est indifférent, c'est dire qu'on a :

bH bH byàx bxùy ' Pour rendre manifeste le sens de cette relation, supposons z fonction de x et

de y seulement : z = f(^x, y). Nous

pouvons représenter z par une surface. Prenons (fig*. 12) trois axes de coordonnées trirectangles Ox, Oy, Oz. En un point a du plan xOy, élevons une perpendiculaire de longueur z = z[x, y^=zfl^x^ y). Nous tracerons ainsi la surface point par point.

Considérons l'élément de surface ABCD découpé par les verticales dont les pieds sont sur le rectanj^le ahcd^ de cotés dx et dy , Soit x^ ?/, les coordonnées du point a.

Nous pouvons assimiler l'élément à un quadrilatère plan.

Evaluons les pentes de ses quatre cotés :

pente AB = ^ ; Â^=[f[x-\-dx, y)-f[x,y)\ \ dx=^f{y), pente DG = MC ; DM r= [l\x + dx, y + dy)~ '[{x, y -f dy)] ; dx

Ce qui signilie (|ue la pente de AB est égale au taux de variation par raj)port à j; de la fonction z, dans laquelle l'autre variable a la valeur constante //. Le point du plan xOy se déplace suivant ab. La pente de DC est égale au taux de variation par rapport à x de la même fonction z, quand on donne à l'autre variable la valeur constante ij -\- dy .

l^.valuons maintenant la dilférence des pentes :

Recommençons la même opération sur les côtés parallèles à yOz. Nous trouverons :

pente AD ^ ^f[x), pente BG = ^^ f{x + dx) ;

Or on a : MG — p=:NG — cD, $D+ MG=:^B + NC,

ô / àz \ Ô / 03 \ ô«3 è«s

Donc : — '

Csy \ dx )

ùx \dy / <\v \^^ /^ àxùy àyàx '

Gomme on peut toujours considérer z comme fonction seulement des deux variables dont on veut intervertir les dérivations, le théorème se trouve démontré dans le cas général. Remarque.

Nous écrivons plus haut :

En elfet, x et ;/ sont des variables indépendantes: il en est de

même de dx et de dy. La quantité di/ ne dépendant pas de c/x, sa dérivée par rapport à x est nulle.

22. Fonction continue ainsi qu'un certain nombre de ses dérivées.

/°. — Une fonction peut être continue sans que sa dérivée le soit; c'est un phénomène fréquent, dont il est essentiel de comprendre le caractère peu exceptionnel.

Quelques exemples éclairciront la question.

'2". — Soit un cylindre constitué par Tempilement de trois cylindres d'argent, d'or et de cuivre, terminés par des sections droites de

Ag

Au

Fig. 43.

même aire s. Prenons comme variable x (portée sur Oa:) la distance d'une section droite à la section terminale passant par O. Traçons la courbe OABG qui représente le poids y du cylindre de longueur X.

La courbe est évidemment continue^ mais possède deux points anguleux A et B qui correspondent aux sections pour lesquelles le poids spécifique change brusquement.

La dérivée est discontinue.

Elle représente en effet le taux d'accroissement du poids par rapport à la longueur. Or le poids d'un cylindre de section 5, de poids spécifique c et de longueur dx^ est sldx.

La pente de la courbe est donc so : elle est proportionnelle au poids spécifique. La courbe représentative de la dérivée est formée des trois droites horizontales : DE, FG, HJ.

Si les cylindres d'argent et d'or, au lieu d'être simplement juxtaposés, étaient soudés^ la discontinuité disparaîtrait. Sur la courbe des densités, on obtiendrait un raccordement représenté en pointillé. Le

Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 3

point anguleux A serait remplacé par une courbure plus ou moins prononcée.

Au point A, la pente de la courbe OAB est indéterminée. Aussi près du point A qu'on veut et à gauche de ce point, la pente est bien déterminée : c'est celle de la droite OA. Aussi près du point A qu'on veut et à droite de ce point, la pente est bien déterminée : c'est celle de la droite AB. Mais au point A lui-même, elle a telle valeur qu'on veut. Conventionnellement, on peut dire qu'elle a toutes les valeurs intermédiaires entre aE et aF. Quand nous voudrons représenter analytiquement la courbe discontinue DEFG, nous serons conduits (§ 270) à prendre, pour valeur de la pente correspondante à Tabscisse Oa, la valeur mojjenne a[j ; mais il n'en reste pas moins évident (jue la tangente en un point anguleux d'une courbe est absolument indéterminée.

3". — ■ L'exemple suivant est emprunté à la théorie des électromètres.

Imaginons deux plaques rectangulaires identiques AB, CD. L'une AB est fixe; l'autre CD est mobile dans son propre plan XX.

Fig. 14.

Lorsque le milieu M de CD est dans l'aplomb du point 0, les deux plaques sont la projection orthogonale l'une de l'autre. A partir de cette position, les déplacements de CD ont lieu parallèlement à l'un des côtés des rectangles (plan du tableau).

Pour chaque position de CD, Taire des portions des plaques qui sont la projection orthogonale l'une de l'autre (aires en regard) est proportionnelle à Cc = bB. Considérons-la comme fonction du déplacement QN=[jlM: nous obtenons la courbe représentative EFGHK.

Quand le milieu de CD est dans l'aplomb de 0 , les portions er regard sont proportionnelles à CD = OG. Puis elles diminuen

linéairement pour s'annuler quand le point G vient dans l'aplomb de B, ou quand le point D vient dans l'aplomb de A.

Ensuite de quoi elles restent évidemment nulles.

Ainsi, pour représenter un phénomène extrêmement simple, nous devons avoir recours à une fonction continue, mais dont la courbe représentative a trois points anguleux, ce qui revient à dire que sa dérivée présente trois discontinuités. A partir des points F, G ou H , les rapports des accroissements de la variable et de la fonction ne sont pas les mêmes quand on se déplace vers la gauche ou vers la droite.

On rencontre même ce résultat paradoxal qu'au point G la fonction est maxima sans que la dérivée s'annule. A vrai dire, elle s'annule si l'on veut, puisque sa valeur est indéterminée (voir le /*•).

4". — La fonction peut être continue, ainsi que sa dérivée première, tandis que la dérivée seconde présente des discontinuités. Gela revient à dire (§ 91) que la courbe représentative change brusquement de courbure. Par exemple, la fonction qui serait représentée par l'ensemble des cercles AB de centre G et BD de centre G est continue, ainsi que sa dérivée première: la dérivée seconde est discontinue en B.

G'est là un phénomène très fréquent en Mécanique. Ghaque fois qu'un corps en heurte un autre, la vitesse ne subit aucune variation discontinue (§ 2) ; mais l'accélération (§ 17) est brusquement modifiée.

On peut dire que les fonctions qui sont continues, ainsi que toutes leurs dérivées, sont très rares dans les applications. Gela ne nous empêchera pas d'en étudier de telles, plus exactement de n'étudier guère que celles-là. Nous en serons quittes pour représenter les fonctions discontinues à l'aide d'un certain nombre de fonctions continues se raccordant convenablement.

Fig. 15.