V. — Parabole

On vérifiera immédiatement que l'équation (fig. 179) :

représente une parabole. La droite OB, sur laquelle repose le vecteur p = OB , est parallèle à Taxe de la parabole ; la direction OA du vecteur a = OA est conjuguée de la précédente (§ 126). L'équation de la tangente est :

Cherchons le point où la tangente coupe la droite OB ; le vecteur s est alors un multiple de OB ; le vecteur a disparaît. Il faut donc "^ poser :

le vecteur s est égal et de signe contraire à la composante de p suivant OB. C'est le théorème énoncé au § 126, ^% dont nous avons promis la démonstration.

Cherchons la condition pour que la tangente passe par un point donné P. Le vecteur OP = S a pour expression :

où /) et q sont des nombres. Identifions S et s, on a :

Eliminons t, il reste : t =p + \Jp~ — q .

On pourra donc généralement d'un point P extérieur à la parabole mener deux tangentes. Elles se superposent si Ton a :

p^- = q, h=pa+p^^.

h se confond avec p; le point P est sur la parabole. !^" — Hyperbole.

L'équation : p = a^ -[-;-, représente une hyperbole.

Fig. 179.

La tano^ente a pour équation :

Les vecteurs de référence x et ,3 sont parallèles aux asymptotes et ont le centre pour origine commune; o devient infini pour t nul et t infini.

On démontrera immédiatement le théorème suivant : Si un vecteur mené du centre d'une hyperbole forme la diao^onale d'un parallélogramme dont les cotés sont parallèles aux asymptotes, l'autre diagonale est parallèle à la tangente à l'hyperbole au point où le vecteur rencontre la courbe.

Notions sur la convergence des séries infinies.

245. Définitions. Progression géométrique, progression arithmétique.

i . — Une suite Indéfinie de quantités u^, w,, ..., ii„, ... forme une série infinie dont elles sont les termes. Pour représenter cette série, construisons (fig. 180 et 182) les points A, B, G, ... d'abscisses :

0, 1, 2, ..., /i, ... et d'ordonnées :

yo = Uo, 2/i = "o + Wi, ..., î/„ = iZo+Wi + ... "«,.-.

Si, à mesure que n croît, ces points se rapprochent indéfiniment d'une droite MN, de sorte que leur distance à cette droite devienne aussi petite qu'on voudra, on dit que la série est convergente,' l'ordonnée OM est par définition la somme de la série.

La figure 180 suppose que les termes de la série sont tous positifs ; les points vont constamment en montant. La figure 182 suppose que les termes sont alternativement positifs et négatifs ; les points figuratifs se placent alors sur deux courbes, l'une constamment au-dessus de MN, l'autre constamment au-dessous.

Bien entendu, une infinité d'autres combinaisons de signes peut se présenter.

Fig. 480.

S°. — Progression géométrique.

Pour fixer les idées, soit la série :

a, ab, ah-, ..., a/>", ...

C'est une progression géométrique de raison b. Sommons les n premiers termes :

Multiplions les deux membres par b ; il vient :

Av. =3[A +//-+... + A"].

Retranchons membre à membre les équations précédentes :

i/„(l— /.)=a(l— />"), a ab* ah"" ,,.

Supposons b positif.

Si b^ \ , le second terme de /y« croît au delà de toute limite quand n augmente : la série n'est pas convergente.

Si /><! 1 , />" tend vers 0 quand n augmente indéfiniment. L'ordonnée y„ est donc toujours inférieure à // , mais elle en diffère de moins en moins à mesure que n augmente.

Les points représentatifs de la série se rapprochent donc indéfiniment de la droite y =za \ {\ — b).

La série est convergente , sa somme est //.

3°. — Progression arithmétioii:.

Soit la série :

a, st-{-b, a -{-2b, ... a-\-nh,... Sommons-en les n premiers termes ; on a :

f,„ = a + {a + b) + {a + 2b) + ... + [a + (n-[)bl

et aussi : //« = [a-\-{n— \) b]-{-[a-^ {n — 2)b]-\- ... -\-a.

Additionnons terme à terme :

Considérons la parabole : y = — ^ [-la — -9- )^. (3)

Elle passe par tous les points figuratifs de la série ; pour s'en ■convaincre, il suffit de poser dans (3) x=z\^2, ... n. On retrouve les valeurs données par la relation ^^2).

Il est clair que r/„ ne tend vers aucune limite déterminée quand n augmente indéfiniment. La série est divergente.