Intérêt simple, intérêt composé

A Toccasion des progressions arithmétiques et géométriques, disons quelques mots des intérêts simples et composés.

/". — Dans le placement à intérêt simple, l'intérêt acquis par la somme à la fin d'une année ne se capitalise pas, c'est-à-dire ne s'ajoute pas automatiquement au capital productif d'intérêt. La somme obtenue, formée du capital productif constant et du capital improductif variable, s'accroît donc tous les ans d'une quantité invariable.

Au bout de n années, un franc devient : 1 -\-nr, où r est le taux de l'intérêt (calculé pour un franc).

:^°. — Dans le placement à intérêt composé, l'intérêt acquis par la somme se capitalise. Un franc devient l-|-r au bout de la première année ; chaque franc constituant cette somme devient de même 1 -(- /• au bout de la seconde année. La somme 1 -f- r devient donc :

Au bout de n années, le franc sera devenu : (1 -|-''V*.

Les taux d'intérêt étant toujours les mêmes, il est possible de dresser une table donnant les puissances entières successives de 1 -|-r, où r est égal à 0,02:) si le taux est 2 y, 7o, 0,030 si létaux est 3 Vo, etc.

On la trouvera plus loin (5^ 248).

S". — On -doit rembourser un capital S à la fin de n années; l'argent est censément placé au taux /•. On demande quelle somme S' il faut payer aujourd'hui pour que le créancier n'y perde pas.

Il est clair qu'il faut lui payer une somme S' qui, placée au taux r pendant n années, reconstitue la somme S :

11 revient au même de poser le problème sous la forme suivante : quelle est la valeur actuelle d'un franc payable à la fin de n années ? D'après ce qui vient d'être dit, il faut prendre les inverses des nombres de la table s^ 248.

Ainsi la valeur actuelle d'un franc placé à 4 y^ et payable dans

15 ans est : 1 fr. : 1,800 = 0 fr. 555.

La valeur actuelle d'un franc placé h 3 % et payable dans 30 ans

est : l :2,427rr:r0,412.

4". — Placements annuels.

On fait n placements d'un franc au commencement de toutes les

2or. COUIiS DE MATinuMAriQlJKS OflNÊIiALES

années, de la première à la n'""'; on demande quelle est la somme à toucher à la fin de la n^'""' année. Elle est évidemment (S 245) :

5". • — Annuités.

On emprunte une somme S, qu'il faut rembourser par des annuités d'un franc payées à la fin de n années en commençant par la fin de la première. Quelle est cette somme?

Le franc versé à la fin de la première année , porte intérêt pendant n — 1 années; le franc versé h la fin de la /i'^'"' année , ne porte pas intérêt. On a donc :

Par exemple, supposons le taux '.\ 7o et ;i=r20; il vient : S = 0,80(J : 0,03=: 26,87.

L'annuité d'un franc produit 26,87 au bout de 20 ans à 3 %.

Si la somme S est donnée, la même formule permettra de calculer l'annuité ii payer, puis(ju'il y a proportionnalité entre les deux.

^0. — On résoudra avec la même facilité tous les problèmes de rentes, d'amortissement, etc. Les questions qui se posent aux Compagnies d'assurances sur la vie sont analof^ues, à la différence près que l'Age de la mort, par consécpient du payement de la prime, est incertain ; il ne peut être fixé (jue d'après une probabilité moyenne. C'est h l'établir dans chaque pays et d'après l'âpe actuel de l'assuré, que servent les Tables statisli(jues de Mortalité.

Les questions de Retraites sont basées sur les mêmes formules. Toutefois, en calculant les annuités à payer, on tient compte du fait que les survivants profitent des morts prématurées (tontine).

247. Fonction continue passant par tous les points de la série.

Une série est donc représentée dans le pian par des points tsolés les uns des autres. Par ces points, nous pouvons faire passer une infinité de courbes continues. La courbe la plus naturelle est souvent facile à trouver.

Par exemple, nous savons (ju'un franc placé k intérêt composé au tîiux r, prend au bout de n années la valeur :

Rien ne nous empêche de considérer n comme variant, non plus par sauts discontinus d'une unité, mais d'une manière continue. Nous définissons ainsi une fonction continue qui coïncide avec la fonction discontinue à la fin de toutes les années.

Son calcul est aisé à l'aide des logarithmes; on a :

logS = «log (! + ;•). (2)

DÉVELOPPEMENTS EN SflIUE

En prenant pour abscisses les nombres 'n et pour ordonnées les valeurs lo^^»- S, la courbe (2) est une droite (voir le chapitre XXIV pour l'emploi des papiers à échelle logarithmique).

248. Valeur à la fin de n années de 1 franc placé à intérêt composé : S=:(l -f-^'j"-

NHES

TAUX ni-;

r/iNTHnAr

■iV.

fr.

fv.

fV.