Règles de convergence

Revenons à l'étude générale des séries.

Pour savoir si une série est convergente ou divergente, on en compare les termes à ceux d'une série dont on sait qu'elle est convergente ou divergente. Voici quelques remarques évidentes.

/°. — Série a termes tous positifs.

Prenons comme série de comparaison la série convergente :

Soit la série à étudier : v^.v^, ...,v^^ ... (2)

Admettons qu'à partir du terme Up de la série (1) et u, de la

série (2), on ait consul < "p,

! \-"']^fi*^

FIg. 1H1.

tamment

Je dis que la série (2) os/ convergente.

Faisons glisser les graphiques des deux séries parallèlement à OiT, de manière que les termes correspondants /J, /> + 1 , . • ; r/, qr-|- 1, ... aient les mêmes abscisses (Tig. 181). Il est évident que \ix pente de la série v étant toujours plus petite que la pente de la série u, si u tend vers une limite MN, v tendra également vers une limite PQ.

5°. — Il n'est pas moins évident que si la série u est divergente ci «i, à partir des termes iij, et 7^,, on a toujours :

la série v sera elle-même divergente. Ramenons deux termes correspondants à la même .ibscisse. La pente (le la série v est supérieure à la pente de la série iz ; si u diverge, v diverge u fortiori.

3\ — Série a termes alternativement positifs et né- GATIFS.

Pour que les séries soient convergentes, il suffit que les termes décroissent et tendent vers zéro. G est ce que la figure 182 rend évident.

Puisque u^ est négatif, B est au-dessous de A; puisque u, est

Fig. 182.

positif, mais plus petit en valeur absolue que «i, G est au-dessus de B, mais au-dessous de A. De même, puisque 1/3 est nég-atif, mais plus petit en valeur absolue que Ug? E) est au-dessous de G, mais au-dessus de B. Ainsi de suite. Donc les points figuratifs de la série se rangent sur deux courbes 1 et 2 : la courbe I est toujours au-dessus de 2 ; la courbe 1 s'abaisse constamment, la courbe 2 s'élève constamment ; elles tendent donc vers une limite commune MN dont l'ordonnée est la somme de la série.

On remarquera que les deux séries :

Uo, Wo, ..., zz,^, ... ; zzi, Z73, ..., zz2„^i, ...

peuvent être séparément divergentes : car de ce que les termes décroissent en valeur absolue et tendent vers 0 , il ne résulte pas que la série soit convergente. Autrement dit, de ce que la pente d'une courbe diminue, il ne résulte pas qu'elle ait une asymptote horizontale; exemple, la parabole y- = 2px, dont la pente :

dx y V 2x '

diminue constamment quand x croît.

D'où le corollaire : tandis qu'on peut intervertir à son gré les termes d'une série convergente à termes tous positifs , il n'est généralement pas permis de le faire pour des séries convergentes à termes alternativement positifs et négatifs. Il faut les prendre dans l'ordre pour lequel la convergence a été établie.

4'\ — Série dont les ternies sont de signes différents.

Lorsqu'une série à termes tous positifs est convergente, on peut changer les signes d'ij^ nombre quelconque de termes arbitrairement choisis, sans que la convergence cesse d'exister.

Reprenons la figure 180. Il est d'abord évident que la série ne deviendra pas divergente ; car la limite de ce qu'on peut obtenir en changeant tous les signes, est de changer le signe de la somme. Donc en prenant les n premiers termes et changeant les signes arbitrairement, on aboutit à un point P du plan certainement compris entre la droite MN et la droite M'N' (non représentée), dont l'ordonnée est égale et de signe contraire à OM .

Reste à savoir si la série est indéterminée. Elle ne Test pas, parce qu'en prenant n assez grand, la somme de tous les termes pris positivement constituant la fin de la série, est aussi petite qu'on veut : c'est en cela que consiste la convergence. Ghanger arbitrairement les signes ne peut que diminuer la valeur absolue de cette somme. Donc la série tend vers une limite bien déterminée.

250. Emploi de la progression géométrique comme série convergente de comparaison.

Il est bien évident d'abord que la somme d'un nombre quelconque

n de termes finis est finie ; nous n'avons donc à nous préoccuper de la convergence qu'à partir du n-j-l*'"*^ terme, n étant aussi grand que nous voulons, mais restant fini. Comparons les deux séries :

Si A<C 1, nous savons que la première est convergente. Ecrivons que les termes de (2) sont respectivement plus petits que les termes de (1). Nous le pouvons de deux manières équivalentes.

1" Poser: Up<^b^, c'est poser : \/up<ih.

Donc lorsqu'à partir d'un certain rang la racine /)^' du terme de rang p est constamment égale ou inférieure à un nombre b <^\, la série est convergente.

:^". — Soit ii^<ib". Nous voulons qu'on ait aussi :

La condition est évidemment réalisée si :

11^ ^ ^=z Un . b, a fortioî'i si : 2 1 <^ /,,

Et ainsi de suite.

Donc lorsqu'à partir d'un certain rang le rapport d'un terme au précédent est constamment égal ou. inférieur à un nombre b<i\, la série est convergente.

Remarque. „

Il arrive souvent que les quantités : u„ . j ; //„, \!u„ , tendent vers une limite bien déterminée quand n croît indéfiniment.

On déterminera cette limite. *

Si elle est inférieure à 1 , la série est convergente.

Si elle est supérieure à 1 , la série est divergente ; car sa pente est plus grande que celle d'une progression géométrique de raison />>>!, progression sûrement divergente.

Si elle est égale à 1 , la comparaison avec la progression géométrique laisse la convergence incertaine ; il faut procéder autrement.