Exemples
i\ -La série : ^ + f + 4^2 + ' + 1 . 2 ^ ... ri + •-
est convergente pour toute valeur de x.
Prenons en elTet le rapport de deux termes consécutifs :
Il a pour limite 0 , quel que soit r, quand n augmente indéfiniment Donc la série est convergente quel que soit x.
Pour .r<<l, les termes de la série diminuent dès le début. Pou
ic >> 1 , ils commencent par croître ; ils passent par un maximum, puis décroissent. La figure 183 donne en I, et à Téchelle de droite, la valeur de la série pour ic=r5, quand on prend 1, 2, ... /i termes.
Fig. 183.
Elle donne en II , et à l'échelle de gauche , la valeur des termes successifs de la série.
Comme nous le verrons (§ 256) , la série représente e". Sa valeur exacte pour x = ^, est 148,4.
^\ — La
série
est convergente pour x <i\, divergente pour x
On a en effet : -" "^
La limite de ce rapport est x quand n croît indéfiniment. Donc pour que la série soit convergente , on doit avoir x <Z^' Nous verrons {§ 252) que la série est divergente pour x = \, et a fortiori pour 0? >> L
252. Emploi d'une fonction continue comme génératrice de la série de comparaison.
Soit une fonction continue y=zf(^x). Calculons la valeur de y pour ic=rl, 2, 3, ... n... Nous obtenons des ordonnées ?/o, î/i, ••• 2/w + i- Nous pouvons considérer les différences de ces ordonnées UQ = yi — î/q, Ui = î/2 — yi, ... comme les termes d'une série que nous savons convergente ou divergente. Il suffit de voir si /"(oc) a une valeur finie ou non.
La série u peut nous servir de série de comparaison.
Pratiquement il n'est pas nécessaire de calculer exactement les
termes Uo, u,, ... : il nous sufïit d'en avoir une évaluation par excès ou par défaut, suivant les cas. Voici deux exemples simples. ^". — Nous voulons montrer que la série :
est divergente. Considérons la fonction : ;/ = loga:. Elle devient infinie quand x croît au delà de toute limite. D'ailleurs on a :
log(„+l)log;i<4-- (2)
En effet : d\ogx=z(JjL' ', x. Quand x est compris entre n et n -[- 1 , la dérivée est donc comprise entre \ '. n et 1 ;(/i-pi); elle est donc inférieure à \ ', n. Pour l'accroissement 1 de la variable, l'accroissement de la fonction est donc inférieur à i '. n. G. Q. F. D.
La somme des n premiers termes de la série (1) est donc supérieure à :
(log2-logl) + (log3-log2) + ... + |log(/i+l)-log«]
— = log n — log 1 r= log n.
Donc la série (1) est divergente.
Il est remarquable que les j)oints figuratifs de la série (1) tendent à se mettre exactement sur la courbe :
;V r= 0,570 + logi.r + 0,5). (3)
Ainsi :
" ^ = 2,28:{ , log 5,5 = 1 ,705 : 2,28:i — 1 ,705 := 0,578, 1 '*
= 4,498 , log 50,5 =- 3,922 ; 4,498 — 3,922 = 0,576.
t^". — Nous voulons montrer que la série : 1.1.1, , 1
est convergente si a>>l. Considérons la fonction :
Les points figuratifs des sommes partielles successives de la série (4) finissent par se mettre sur la courbe (5), où la quantité S est une certaine fonction de a à déterminer. En effet, la dérivée
La différence finie Sy pour Ax=(/i4~M — ^^ ^^^ donc aussi
voisine que nous voulons de raccroissement de la série (4) quand nous passons de /i à n-\-i termes : il suffît de prendre n assez grand. La courbe discontinue (4) et la courbe continue (5) tendent donc asymptotiquement l'une vers l'autre. Or, si a est >> 1, la fonction (5) tend vers la valeur S pour x=zoo. Donc la série (4) est convergente.
Voici les valeurs — des séries (4) pour diverses valeurs entières de a.
