Séries formées de quantités complexes

Pour fixer les idées du lecteur et généraliser la notion de série, nous dirons quelques mots des séries formées de quantités complexes :

Les termes sont de la forme :

"«==pn(cosO,. + /sinO^).

On obtient un polygone ouvert OABGDE (fig. 184).

La série est convergente si l'extrémité de ce polygone tend vers un point limite P à distance finie, quand on augmente indéfiniment le nombre de ses côtés.

Deux cas sont à considérer.

Déroulons le polygone spiraliforme construit jusqu'au point limite, et mesurons sa longueur (somme des modules des vecteurs).

Si cette longueur est finie, cela signifie que

Fig. 184.

la série formée par les modules (tous positifs, § 222) est elle-même convergente. La série est dite absolument convergente.

Si cette longueur dépasse toute quantité donnée, la série formée par les modules n'est pas convergente. On dit que la série (1) convergente est semi -convergente. Nous verrons plus loin que ce terme est souvent pris dans une acception différente (§ 262).

Gomme cas particulier, nous retrouvons les séries dont tous les

termes sont positifs, et les séries dont les termes sont tantôt positifs, tantôt négatifs. Ainsi la série :

qui est convergente (§ 249, 3"), est semi-convergente, puisque la série des modules de ses termes :

est divergente (§ 252, i").

Si la série est absolument convergente, on peut changer arbitrairement l'ordre des termes sans modifier la position du point limite; si elle est semi-convergente ^ l'interversion peut donner à ce point une infinité de positions diiîérentes (§ 249).

Développements suivant les puissances de la variable.