Développement en série. Formule de Taylor

i'\ — Montrons d'abord que toute fonction entière de u- -\- h (§ 36), f[x-\-h), peut être mise sous la forme :

/"', f'\ ... sont les dérivées successives de f[x) par rapport à x. Le nombre des termes du développement est fini, car la dérivée 7n-|-r''""' d'un polynôme de degré m est nulle.

Il suffit de prouver le théorème pour la fonction A(x-j- /i)'", la dérivée d'une somme étant la somme des dérivées. Il suffit même d'étudier [x-\-h)"'\ on multipliera ensuite tous les termes par A.

On a, d'après la formule du l)inôme (^* 12) :

Or : f{,r)=--x^, f\x) = mx'^~\ /"'(.r) = m(m— l)x'"-'+ ...

Substituant dans (2), on retrouve (1). G. Q. F. D. ^°. — Quelle que soit la fonction f[x-\-h)^ nous pouvons toujours poser :

f[x + h) == Ao + X,h -f X,h^ + . . . + A„/i« + \\[x,h), (3)

où Ao, Al, ... A„ sont des fonctions arbitrairement choisies de x , où R(ir, h) est une fonction de x et de h à déterminer.

En elfet, le reste l\ étant d'abord indéterminé, nous pourrons toujours le choisir de manière à transformer (3) en une identité.

L'intéressant n'est donc pas de développer f[x -\- h) suivant les

puissances de h; c'est de trouver pour les fonctions Ao(a?), Ai{x), ... A„(a?) , des formes telles que le reste R ait une expression aisément calculable.

Nous sommes naturellement conduits à essayer pour les fonctions A les formes qui réussissent parfaitement bien pour les fonctions entières (puisqu'elles annulent le reste R, à la seule condition de prendre un nombre de termes égal au deg-ré augmenté d'une unité). Nous écrirons donc avec Taylor :

A.r+/o=/-(x)+^rH+-|^rw+...+^rw+R, (4)

n ! = factorielle n = i . 2 ... n.

Nous pouvons toujours poser l'identité (4) sans contradiction, puisque R est encore à déterminer. Mais le développement n'a d'intérêt : d'abord, que si nous parvenons à trouver la forme du reste ; ensuite, que si la valeur du reste est négligeable à la seule condition de prendre un nombre convenable de termes.

Remarque.

Les développements en série servent à deux fins qu'il faut soigneusement distinguer.

Ou bien nous voulons obtenir une série infinie qui soit équivalente à la fonction donnée, dans un intervalle déterminé pour la variable. Il est clair qu'alors la série doit être convergente.

Ou bien nous nous proposons seulement de calculer numériquement une fonction donnée. Or on ne calcule pas des séries infinies j on se borne nécessairement à un petit nombre de termes. Il devient alors indifférent que la série indéfiniment prolongée suivant la même loi soit convergente ou non. Il suffit que le reste devienne suffisamment petit, quand on prend un nombre convenable de termes (par convenable y il ne faut pas nécessairement entendre grand).

On verra, par exemple (§ 2()2), qu'il est possible de calculer certaines fonctions au moyen de séries qui non seulement sont divergentes, mais dont les termes, d'abord décroissants, passent par un minimum pour un certain rang, et croissent ensuite indéfiniment. Naturellement il en est de même pour le reste. Si ce reste est facile à évaluer et passe par un minimum suffisamment petit, la série est parfaitement utilisable.