Restes des formules de Taylor et de Maclaurin

1". — Considérons la fonction de z :

^+^^ ^)lfn^^)__(^^^h—zY^'S. (1

n 1 Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 20

<p(s) s'annule identiquement pour z=^x-\- h\ o{x-\-h) = 0. Nous voulons trouver une quantité S indépendante de s, et telle qu'on ait également o(ir) = ().

D'après le § loo : oU + /i) — o{-r) r= ho{.r + Q^) , 0 < 6 < 1 .

Puisque nous avons par hypothèse :

of.r4-/i) = 0, o(.r) = 0,

il existe une valeur de z intermédiaire entre r et x-\-h pour laquelle o'(2)r=o'(./^-|- 0/t) = 0. écrivons qu'il en est ainsi. Or :

i{z) = -nz)^f'(z.-{.r+h-z)nz)+...

Tous les termes du second membre disparaissent, sauf les deux derniers. D'où les conditions corrélatives :

o'(.r + 0/.) = 0, S="']'Jl^{~' r-'i^ + 'ih).

Si 0 est convenablement choisi entre 0 et 1, on a : 0(3") = (). Faisons donc :: = .r, dans la formule (1); substituons à S sa valeur; enfin posons o(.^) = <>. H reste la formule de Taylor :

L'exposant A' est arbitraire; à chaque valeur de A: correspond une valeur particulière de 0.

On utilise principalement deux formes du reste. ^. — Reste de Lagrange. Posons k = n :

;?°. — Reste de Cauchy. Posons A = 0:

>. — Formule de Maclaurin.

Faisons x = 0, dans la formule (2) qui est une identité pour toute valeur de x et de h: remplaçons h para?. Nous obtenons :