Développements du logarithme et de l'exponentielle

/°. — Soit à développer e"" en série. On a (5^ 197) :

par suite, toutes les dérivées /*"(0) sont égales à l'unité. D'où :

Or e^^ est essentiellement fini. En vertu du § 251 , le reste s'annule donc quand n croît indéfiniment, quel que soit x. Par suite, on peut considérer la série indéfiniment prolongée comme représentant e""'^ elle est convergente quel que soit x (§ 251).

Si on utilise un nombre fini de termes, on commet une erreur égale au reste, et dont il est facile d'évaluer une limite supérieure.

Généralisons; on a : loga'' = j^loga, a^==e'''"^".

Pour développer a"^, on remplacera donc dans la formule (1) X par X loga, et e^^ par a^^.

^''. — Soit à développer log(l-J-.^).

On a : r{-^) = ±l . 2 ... (/i— 1) (1 -f.c)-",

p^\i^x)z=z^\ . 2... (/z — i)n(l+0.r)-«-'. D'où :

log (1 + ..) = .r - ^ + ^ - . . . + — + --^-p j^ç^^, . (2)

La série indéfiniment prolongée est divergente pour x^ \ . Nous sommes par conséquent assurés qu'indéfiniment prolongée, elle ne représentera pas log(l^.r-). Non seulement elle est divergente, mais pour peu que x soit grand, les termes croissent immédiatement; nous ne pourrons donc pas davantage nous en servir pour calculer log(l -j--^);, en la limitant à un nombre fini de termes.

Pour .^<Cl, la série indéfiniment prolongée est convergente et représente log(l-|-a?). Pour le montrer, il suffît de prouver que le reste diminue au delà de toute limite, quand n augmente indéfiniment.

En effet, l'égalité (2) est une identité pour une valeur convenable de 0; log(l-[-j?) est certainement fini. Si donc le reste diminue indéfiniment, la série est convergente et représente log[i-\-x).

Il en est évidemment ainsi quand x est positif, puisque :

.T : ( i + ea;) < 1 .

On élève donc à une puissance indéfiniment croissante un nombre inférieur à l'unité; de plus, ce qui accroît la rapidité de la décroissance , on divise le résultat par le nombre n-\-i qui croît indéfiniment.

Si X est négatif, utilisons la seconde forme du reste :

^^ — 1". 2 . 3::. Vi ^ [^00) — X ^^-^ ^^^,. , —y^j^^^^j ^ ^y^^ . Posons x = — ?/ ; x — (ix = — hj — 0?/) , 1 -[-- Oa- = 1 — By.

On a : 7/ — Oî/ << 1 — 0;y , puisque ;/ est positif et <C 1 . Donc le reste contient en facteur une puissance indéfiniment croissante d'un nombre dont la valeur absolue est inférieure à l'unité : il tend vers 0 quand n croît indéfiniment.

En résumé, pour toute valeur de x dont la valeur absolue est inférieure à 1 , nous pouvons écrire :

log(l + .r) = ^-^^+^— ^ + ...

Remarquons que pour .r<^0, tous les termes de la série sont négatifs.

Pour fixer les idées sur le degré de convergence de la série, calculons log(1,o) et log(0,î)); donnons à a: la valeur 3+2 1 ; 2. On trouve immédiatement (à l'aide d'une table des inverses) pour valeurs absolues des termes successifs (multipliés par 10*) :

5000, 12r;o', 417, l :'>(>, 63, 26, il,

D'où : log (0,5) = — 0,6923, log (1,5)== 0,4059. La table du S 194donne log (0,5) = — log 2 = — 0,6931. Une table de logarithmes vulgaires donne : Log (1,5) =-0,1 761; d'où : log(i, 5) -^ 0,1761 X 2,3026 = 0,4055.

Naturellement la convergence est d'autant moins rapide que la valeur absolue de x s'approche davantage de 1. Pour x=\, on a :

log 2 = i — 0,5000 + 0,3333, — 0,2500, + 0,2000 — 0,1 667 + . . . .

La série converge (s^ 249. ,f'), mais très lentement.