Développements du sinus et du cosinus

i°. — Soit d'abord sin ./• à développer.

f'{x] = cosx, /"(0) = 1;

r(r)=: — sin.r, r(0)==0; et ainsi de suite. Prenons n pair; on a :

sin.r = jT — JT + jr —'•-±j^^zfT)T cos (6x).

Le reste est donc toujours inférieur à j?"*^ ; (n-j- 1) I. La série indéfiniment prolongée est convergente quel que soit x. Soit, par exemple, x^=2. On trouvera pour les termes successif de la série :

Or l'arc 2 correspond à peu près à 114° 30' dont le sinus est le même que celui de 65° 30'. Les tables donnent 0,910.

Cet exemple montre à quel point la série est convergente; il est clair que, pour calculer des sinus, on ne s'avisera pas de prendre des arcs supérieurs à t: ; 2.

S°. — - Soit cosa? à développer.

f{or) = -smx, /'(0) = 0; r{x)^-cosx, . r{0) = -iet ainsi de suite. Prenons n impair; on a :

cosx = i—-^ + jj—...± (^^|), cos(6a-).

La série indéfiniment prolongée est convergente quel que soit x. 3°. — Appliquons à e'* le développement précédemment démontré pour e^ (§ 25(3). On trouve (§ 253) :

que nous pouvons écrire :

'-S+l^--+K-iT

e'^ = cos X -(- i sin x.

C'est la formule de laquelle nous sommes partis pour définir e**.