Généralisation de la formule de binôme

Soit à développer {\ -\-xY^ où p n'est plus nécessairement entier.

f\x)=p[i+xf-\ m=p;

^"(,,)=p(p l)(l+^).- f"^0)=.p(p-i); et ainsi de suite. D'où :

ii+xY=i + P-. + PiP^-x'. + ... + n,

R = (1 e)» iîLPinA^iiiPrr^ (1 +

Nous retrouvons donc la formule du binôme avec un reste. Celui-ci a une valeur qui tend vers 0 quand n croît indéfiniment, pourvu que X soit compris entre — 1 e/ -j- 1 .

En effet, le reste peut se décomposer en trois facteurs :

i + ex/' i^-hea;) 'ni ^ •

Puisque 0 est compris entre 0 et 1 , et que x est campris entre — 1 et -f- 1 5 le premier facteur est certainement infiniment petit pour n infiniment grand. Il resterait fini et égal à l'unité pour x=: — 1. Le second facteur est fini. Il faut donc prouver que le troisième est infiniment petit pour ii infiniment grand. En effet, pour passer de sa valeur pour n termes à sa valeur pour n-{-\ termes, on doit le multiplier par :

quantité qui pour n très grand tend vers — .r, c'est-à-dire est comprise entre - - 1 et -|- 1 • Le produit d'un nom])re de plus en plus grand de facteurs qui (au moins à partir d'un certain rang fini) sont tous inférieurs à l'unité en valeur «absolue, tend évidemment vers 0.

\" + -^ = 1 + 2 - H +W~ 128 + • • • 1 .r j^ Sx- lyx^ | 35j-^

' ZJ — ^"3"^ 9 81 +243 ~"••••

v/4+.r 2Jr• , 17jc' .

'^ ' 3 ' lo

arctgj:'=:.r— ^ -|- ^ — -^ -f- ...

arcsm.r = j"4--jv- + ^^ + ^j-^4-...

Formules d'approximation.