Formules d'approximation

/". — Nous avons déjà fait observer que les développements ei série servent à deux fins : 1° obtenir une fonction équivalente à un» fonction donnée; 2" faire plus aisément des calculs approchés. Dan

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE 3tl

le premier cas, nous devons nous inquiéter de la convergence de la série indéfiniment continuée. Dans le second cas, elle nous est parfaitement indifférente, puisqu'on ne calcule pas une série infinie; il suffît que nous puissions estimer la valeur du reste.

Voici des exemples pour fixer les idées.

^°. — Il est évident qu'on a pour x positif et petit :

oc oc ce .'/' (jC

y<tgY; -2-<sin Y : cosy.

x X OC' [ X \

Par suite : j? cos- -W^ << 2 sin -^ cos 2" , «^(l — sin--^ j <C sinx.

X — sin X <^x sin^ -^ , x — sin x <^ —r- ,

puisque le sinus d un arc est plus petit que cet arc. En définitive, nous avons les inégalités :

X — f <i sin X <Z r.

Nous pouvons donc remplacer sin x par x avec une approximation, que nous savons évaluer.

La connaissance du développement convergent (§ 257) :

x"^ I ocr" x'

sm x^=^x — -TT-

est précieuse, puisqu'elle nous fournit, outre une estimation plus précise de Terreur (a?^ ; 6 au lieu de a?^ ; 4), une approximation indéfinie grâce à un plus grand nombre de termes; mais elle n'est pas nécessaire.

^^ ~ On a : cosa? = 1 — 2 sin^y ,

d'où : cosa:;>>l — -^^ .

Voici donc ces x déjà compris entre les limites 1 et 1 — a;- ; 2.. On peut aller plus loin. Remplaçons sin (.t ; 2) par la valeur sûrement trop petite déterminée ci-dessus. On a :

cos.T<l— 2(^-2-— 32 j , ^^^^<1— -2" + T6'"~lF'

et a fortiori : cos x <Ci — 9 + -j^ .

Nous renfermons donc cosr dans les limites :

1 gr < cos a:- < 1 ^ +

Le développement convergent (i;^ 257j :

cos rr = 1 — 2" "T "24" ~ • • • '

fournit une estimation plus précise de l'erreur. /". — La formule du binôme donne :

et par suite : ■. ■ = 1 — x-{-x^' — x^ -\- ...

Elle n'est cependant pas nécessaire pour savoir que poser :

1 ; [i-j-x)=z\ — X, c'est écrire : x^- = 0:

1 \[i-^x)=[ — x-\-x^^ c'est écrire : x'^ = 0:

et ainsi de suite.

5°. — Soit une fonction quelconque f(x, ;/, z) dont nous voulons calculer les valeurs autour du système x^ ?/, :;; par exemple, pour le système 'i'-\-h, 2/ + ^»'i ^~{'(/- Sans qu'il soit nécessaire d'aucun raisonnement supplémentaire, nous avons approximativement :

en vertu de la définition même de la dérivée et pourvu que la fonction f[x, y, z) n'ait pas de propriétés particulières au voisinage du système .r, ?/, 3. Notre but est ici non pas de construire une fonction équivalente à la fonction f{x, ;/, z), mais de calculer des valeurs approchées. Elles le seront d'autant plus que h, A*, ^r, seront plus petits.

6*". — On conçoit maintenant l'usage, pour le calcul des fonctions, de séries qui indéfiniment prolongées seraient divergentes, dont les termes pourraient même croître indéfiniment.

261. Résolution de Téquation du second degré par approximations successives.

/". — Supposons très petit le coefficient a de l'équation :

ax''-^hx-\-c — 0. (1)

La résoudre, c'est déterminer les points d'intersection avec l'axe des X de la parabole :

y =z ax- -\- hx -\-c.

Vu la petitesse du coefficient a, cette parabole à distance finie se confond presque avec la droite :

y=zbx-^c.

Il existe donc une racine réelle voisine de x = — c '. b.

Il en existe une autre très grande voisine de — b ', a. En effet, pour les grandes valeurs de x, les deux premiers termes ax"--\-bx l'emportent beaucoup sur le troisième.

Cherchons une valeur plus approchée de la première racine.

Remplaçons x^ par — c '. b dans le terme petit. On a :

c ax^ c ac^

On obtient une valeur encore plus approchée, en remplaçant x^ par cette nouvelle valeur.

Négligeant' le terme en a^ , on trouve :

c a& ^aV '^ — ~'b~~^~~ b' '

^°. — On obtient autrement le même résultat. Résolvons l'équation (ij :

-/> + v//>--4ac i> / . , v/l i^ ""-- 2a — 2^l"~^'^V^ b^~

Nous ne gardons que la racine relativement petite. Développons le radical par la formule du binôme (§ 258 ) :

4ac \ ' 1

2ac

2aV-

ia^c^

~ b^ ac^

b' 2aV

3**. — Gomme application, traitons le problème classique du puits. On laisse tomber un caillou au temps 0 ; on détermine le temps t auquel on entend le bruit de la chute. On demande la profondeur du puits. Appelons ^ l'accélération de la pesanteur, V la vitesse du son. La profondeur h est donnée par l'équation :

Gomme V est grand relativement à la vitesse de chute, on a comme première approximation h=zgt^\2. Substituons cette valeur dans

le second membre de la relation exacte ; il vient :

On trouve le même résultat en développant la solution exacte :

Remarque.

La première méthode présente l'avantage de donner une solution unique. Quand on part de la première équation (l) et qu'on chasse

le radical, on introduit ipso facto une solution fausse ^ puisque le résultat serait le même pour Téquation :

qui n'a pas de signification ph} sique. La remarque s'applique chaque fois qu'on est amené à chasser des radicaux. On ne retrouve évidemment jamais dans les résultats que ce qu'on a mis dans les équations; mais il faut avoir soin de ne rien ajouter en cours de route, car on le retrouve à la fin.

262. Calculs approchés au moyen de séries qui indéfiniment prolongées sont divergentes.

Voici un intéressant exemple du calcul des intéij^rales de Fresnel. Une intégration par parties donne les formules :

^ ,. r (Iv T, ., 1 .::.., 4/1—3 / dv

^^n — \) / -^^ï;^,cos-^r-=r ^^„.3 sin 2^'+ -~ f l^ï.riïï

r dv . T. , 1 z , ifi — \ l'd I ,,,.. sni -ô- v' — : — .. , cos -^ V I -

sm n V-

cos -g- V

Ceci posé, on obtiendra de proche en proche :

-\- COS -^ V-