Méthode des moindres carrés

i°. — Il s'agit de représenter au mieux les résultats d'une série d'expériences au moyen d'une courbe dont on se ^ donne arbitrairement la forme :

et qui contient m constantes arbitraires. A, B, ... On demande de choisir au mieux ces constantes. Les expériences, effectuées pour les valeurs iPo, i^i, a?2, ... de la variable, ont fourni des points A, B, G, ... (fig. 185) ou, ce qui revient au même, des nombres y',, y[, y'„ ...

On demande donc de faire passer au voisinage de ces points une courbe telle que les erreurs :

^o — yo — y'o, h = yi — y[, £2 = 2/2

satisfassent à une condition donnée à l'avance.

Le nombre/^ des points A, B, C, ... fournis par l'expérience étant très supérieur />ar hypothèse au nombre m des constantes A, B, G, ... (la similitude des notations pour les points et pour les constantes est purement fortuite), la courbe y ^ f[x) ne passe pas exactement par tous les points.

D'où la nécessité de choisir une condition pour les erreurs qui permette à la courbe de rester hors des points et cependant d'être déterminée.

On impose ordinairement comme condition^ justifiée seulement par la simplicité de son expression mathématique, que la somme des carrés

2rf£^ soit minimum. Le défaut de cette méthode (dite méthode des moindres carrés) est d'exagérer l'inlluence des erreurs grossières et des expériences particulièrement mauvaises qu'il serait souvent plus prudent d'éliminer. Peu importe pour nous, qui n'envisageons la question que du point de vue des calculs à etl'ectuer.

^". — Montrons qu'il est facile de calculer les valeurs exactes des paramètres A, B, C, ... qui satisfont à la condition imposée, pourvu qu'on en connaisse des valeurs approchées a,h,c. ... Dans la pratique, on calcule ces valeurs approchées par tâtonnements, en se laissant guider par des analogies ou des hypothèses.

Posons: A = a-\-oc, B-=Ij-\-^, Cr=c-|-7, •••

Nous pouvons écrire en vertu de l'hypothèse (\ue a, fi, v, ... sont des quantités petites ():; 260, !)") :

Posons pour simplifier l'écriture :

i/„ = A, + a/-; + Ii/"!; + •.'/■; + -

Eo = y., - ja = (A - .'/;.) + v: + Ut + -n = 8„ + aft +?/■;;+•••

Dans toutes les formules précédentes, seules les quantités a, ^, y. sont inconnues. Toutes les autres sont par hypothèse calculables.

3°. — Calculons ^t' et écrivons que cette quantité est minima.

Pas de difficulté sur le sens des signes 2^. Les sommations sont étendues à toutes les abscisses Xq, Xy^ X2, ... Nous sommes donc conduits à une forme quadratique par rapport à a, [i, y, •••

Ecrire que la somme est minimum, revient à égaler à zéro les dérivées de l'expression précédente prises successivement par rapport à a, (3, Y .... On trouve :

Pour déterminer a, 3, •••, on est donc conduit à un système de m équations du l'"' degré à m inconnues.

Le lecteur que les notations précédentes (nécessairement compliquées) effaroucheraient, verra par les exemples suivants qu'il s'agit dé considérations très élémentaires.