Applications

/°. — Nous voulons faire passer la droite ?/ i=z A.r -f- B , à travers les points :

x,z=zIl ^1 = 10 .r, = i2 :r3 = 20

;/;,^3 y[ = i3 .v;=iO y'. = 22

de manière que la somme des carrés des erreurs soit minima.

Construisons ces points sur un plan ; nous constatons que la droite y=x, (a=l, /) = 0) satisfait approximativement à la question. Nous poserons donc :

a et (^ sont censément petits. Du reste, ici le développement en série par rapport à a et ^ est tout effectué : ces quantités n'apparaissent qu'au premier degré. Calculons les erreurs.

eo = 2/„-,v;=(l+=<)4 + ,îl-3; £,=2/, ,/-(l+a)10 + fi- 13 ;

Il faut écrire les conditions de minimum pour la somme :

(4a + p+ir-+(10a+3-3r- + (12a+^ + 2)^ + (20x + g-2)^

D'où le système : :i30a + 23(^ = 21 ;

^°. — Nous voulons faire passer l'exponentielle : ?/ = Ae^'", à travers les points :

j-Q = 0 Xi = i x^ = 2 a?3 = 3

Quelques tâtonnements donnent comme valeurs approchées :

Posons donc : y =i {2 -\- y.)e^^ + ^)^ .

Gomme par hypothèse a et ^ sont de petites quantités, nous pouvons négliger les termes en [i"^ ou en afi. D'où :

7/ = (2 + 3e) <? (1 + 1^)-^ = (2 + a) (1 + 3.t) e^ = 2e^ + aer^ + 2'^xe^.

Nous sommes ramenés à une forme linéaire en a et |S. Calculons les erreurs :

£,rr..Vo — //;, = 2 + 3c-l,8; 3,=;/,-;/; = (2 + a + 2;i)2,72-6;

Il faut écrire les conditions de minimum pour la somme :

(oc + 0,2)^- + (2,72a + :i,4i3 — 0,:;6)'- + (7,39a + 29,56.^ + 0,78)^

D où le système :

ar= —0,27, -1^0,001 ; .7 = 1,73 e^'^ei.x

St'^rie do Fonrrior.