Calcul des coefficients

Soit une fonction Fi./ i à représenter entre les limites 0 et 2- Admettons que ce soit possible au moyen du développement :

V[x) -^^ Al sin X + Aj sin 2x-\- ... -\- A„ s\n nx-{- ...

+ Bo + BiCos.r+B,cos2.r+...+B«cos/i.r+... ^ ^

ou du développement équivalent :

F{x) = Ho + a, sin (x — a, ) + a. sin (2a? — jt.) + . . . + a,,sin(nx— a,) + ...

Nous pouvons calculer aisément les coefficients de la série (Ij. Multiplions les deux membres de (1) par sin mj- ou ces mx \ intégrons entre 0 et 2::. Nous trouvons trois sortes d'intégrales [^ 48) :

sin mx cos nx . dx = ^ 1 [sin (m -\- n) x -\- sin (m — n)x^dx,

qui est nulle quels que soient les entiers m et n ;

sin mx sin /i,r . dr = ^ / [cos(/7i — n)x — cos[m-^n)x\dx^

qui est nulle quand m diffère de n, et vaut :: quand m ^ n >> 0 ;

I cos mx cos nx . dx^^-ry 1 [cos (m — n)x -\- cos (m -|- n)x'\dx^

qui est nulle quand m diffère de n, vaut ':: quand mrrr/i>>0, enfin 2- quand m=n = 0.

D'où les valeurs cherchées des coefficients de la série (1) :

A„ = — / ¥[x)s\iinx . dx, B„ = — / ¥ [x) cos nx . dx ,

^ / V[x)dx.

Bo— 2,

Connaissant A„ et B„, on calcule a„ et a„ par les formules : a^^A; + B^, tgoc„ = — B„ : A„,

qui résultent de Tidentification des séries (I) et (2).

Nous admettons le développement possible : c'est une hypothèse à justifier (§ 270). Toutefois le calcul précédent ne suppose absolument rien sur la fonction ¥[x), sinon qu'elle ne devient pas infinie entre les limites d'intégration 0 et 2t.. Tous les termes des séries étant périodiques et admettant 2t. comme multiple de la période, la fonction F(j?) est elle-même périodique et admet 2t comme période.

Elle peut être aussi discontinue qu'on voudra. Toutefois il est bien évident que la série trigonométrique, n'ayant pour chaque valeur de la variable qu'une valeur unique et bien déterminée, ne peut représenter la fonction F (r) pour les valeurs particulières de la variable pour lesquelles celle-ci est discontinue, c'est-à-dire possède deux valeurs différentes. On démontre que la valeur de la série pour ces valçurs de la variable est la moyenne des valeurs que ¥[x) y prend (S 270).

Nous n'insisterons pas sur ce cas.

Aussi bien nous pourrions supposer, sans restreindre le champ des applications en Mécanique et Physique, que la fonction F[x) est continue, ses dérivées pouvant être aussi discontinues qu'on voudra : ce qui supprime toute difficulté. En effet, la série de Fourrier sert ordinairement à représenter le mouvement d'un mobile, les oscillations de température, ...Or, s'il est logiquement admissible que la vitesse varie brusquement, il ne l'est pas que le mobile occupe simultanément deux positions différentes, ou possède deux températures différentes.

Avant de discuter plus à fond les propriétés de la série de Fourrier, donnons-en quelques exemples.