Premier exemple
Soit à développer en série trigonométrique la fonction périodique représentée par la courbe OABGDE, EFGHKI, ... (%. 186).
Posons : UX = k .2::, OD = /c' . 2r .
La fonction est donc partout nulle, sauf dans les intervalles AD, FK, ... de grandeur {k' — k)2z, où elle est constante et égale à F. On a :
An = / sin n
cos ne
dx
dx
nr.
cos 2r.kn — cos 2rM'n
— (sin 2T.k'n
nr. ^
En particulier posons /» = (), A' =r 1 ; 2.
s\Tï2r,kn).
vient :
Fig. 18G.
|-^(a) = F[-|-+ sin v+isin3.r + 4sinS.r+...]. (1)
La fonction f[x) vaut la constante F quand x varie entre 0 et ::,
entre 2z et 3:7, ... Mais elle est nulle identique-
ment quand x varie
entre t: et 2t,^ 3- et 4r,...
Pour les valeurs 0,
Ainsi f[x) représente la fonction donnée, sauf aux points de discontinuité pour lesquels elle vaut la moyenne des valeurs de cette fonction.
Gomme la série prend des valeurs égales et de signes contraires pour des valeurs égales et de signes contraires de .r, on a :
sin j:^ -|- -H- sin 3.r -\- -y- sin t'î.r -L . . . ^r -f- -^ ,
suivant que l'arc x se termine dans le premier et le second quadrants, ou dans le troisième et le quatrième (sauf évidemment aux points intermédiaires diamétralement opposés, où la série s'annule). Pour montrer combien la série est peu convergente, faisons le calcul pour J7r=:45" :
sin .r = sin ^x=z — sin 5.r = — sin 7.r=:sin ^x^= ... =0,707.
La valeur de la série est :
Rappelons que ^ : 4 = 0,7854. L'évaluation est erronée par défaut^ puisqu'on s'arrête à un terme soustractif. En s'arrêtant au terme positif précédent 0,077, elle est erronée par excès : on trouve 0,8102.
Le calcul pour un arc voisin de 0 ou de t: est très intéressant.
Nous pouvons trouver une infinité de développements trigonométriques représentant la même constante dans la première moitié de la période, et représentant une fonction arbitraire dans la seconde moitié.
Il est incorrect de dire que nous développons une constante en série trigonométrique. La série (1) entre crochets représente non pas la constante ir ! 2, mais bien une fonction prenant :: ; 2 comme valeur dans une partie de la période, 0 dans une autre partie, enfin X : 4 pour certaines valeurs de la variable.
