Autres exemples

Voici trois autres exemples empruntés à Fourrier et représentés par les courbes delà figure 187.

Fig. 187.

cosa? , cos 3a?

/ ^ sin X

sin 2x 1^ ~"2 ^ sin 3x

sin 3x

cos ^x sin ix

sin 5iP

sma?

Cours de Mathématiques générales. — H. Bouasse,

4 + sin Ix

—rjl

Pour effectuer les intégrations, on usera des formules : m.r sin mx dx = cos mxdx — d[x cos mx), mx cos mx dx == — sin mxdx -|- dix sin m,x).

La période est ici 2r..

Ainsi voilà trois développements parfaitement équivalents entre 0 et z ; 2. Ils représentent tous les trois x \2. En particulier, faisons ./m::: ; 2 ; la première série ne donne rien ; les deux dernières

deviennent :

Il va de soi qu'en dehors de l'intervalle 0 et t: 1 2, les séries ne sont plus équivalentes. Les figures 187 représentent les courbes correspondantes.

On remarquera que la série II s'annule pour les valeurs r, 3::, ... de la variable; elle fournit la moyenne des valeurs de la fonction discontinue qu'elle représente.

Fig. 188.

Elle reprend la même valeur pour .^t- et x On trouve aisément :

t: . 1 cos 2x cos 4,r

valeurs absolues d'un sinus et d'un cosinus.

II est clair que le sinus et le cosinus sont à euxmêmes leur propre développement en série trigonomé trique.

Mais cherchons à développer non plus le sinus, mais une nouvelle fonction égale aux valeurs absolues du sinus.

: (fig. 188).

cos 6a?

Entre 0 et r, le développement vaut identiquement (xsina::4i. Mais il vaut (^ — irsinx ; 4) entre z et 2z.

Un courant alternatif redressé est représenté par la série (L.

Il est intéressant de voir une fonction impaire telle que le sinus développée au moyen d'une fonction paire ; mais le fait de ne prendre que les valeurs absolues transforme la fonction impaire qu'est le sinus, en une fonction paire.