Décroissance des termes de la série

i". — Montrons d'abord que les termes de la série décroissent au moins comme l'inverse du numéro d'ordre, 1 '. n.

Considérons l'intéerrale

Ff.r) sin n.r . dr.

L'intervalle de 0 à 2:: contient fi périodes du sinus. La figure 189 suppose n = 3.

Dans ce cas, pour avoir les éléments de l'intégrale, il faut multiplier F[x) par un facteur qui prend alternativement trois fois des valeurs égales et de signes contraires. Si, pendant une période, F[x) ne varie pas, la partie correspondante de l'intégrale disparaît.

Lorsque n augmente, la période de sin nx diminue en raison inverse de n ; pour variable que soit F(x) , ses variations pendant une période deviennent de plus en plus petites : l'intégrale diminue certainement.

Pour fixer une limite de sa valeur , remplaçons F[x) par sa tangente dans l'intervalle d'une période du facteur sin nx. Calculons l'intégrale pour une période :

fesT œ

Fig. 189.

Il vient (§ 219;

{ax -\-b) sin nx . dx,

X , sm nx

— cos nx -4- 5 —

Comme c'était évident a priori^ h disparaît du résultat.

Si F(ic) est une droite, a est constant : la valeur de l'intégrale jDowr

/ intervalle 0 h Àr. est : — ^ > a = — ^ ]n =

Même résultat pour une courbe quelconque, à la différence près que a représente la pente moyenne pour une période de sin nx. Ainsi, dans tous les cas, les termes décroissent au moins comme i '. n.

Si la fonction périodique F(a?) est non seulement finie, mais continue , il y a compensation entre les quantités 2 tt^ ; n- calculées , pour chaque période de sin nx^ au moyen de la pente moyenne a de ¥[x). A une pente positive doit succéder une pente négative ^ le produit ^a

324 COUliS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉIiALES

reste fini, et les termes décroissent comme 1 ; n-. Nous n'insisterons pas sur la démonstration de ce théorème, du reste très important, qui se vérifie dans les exemples des i^i^ 266 et 267.