Légitimité du développement

Pour démontrer que le développement est léjji'itime, il faut calculer directement la somme d'un nombre croissant de termes de la série et prouver que sa valeur limite est bien Fa:). Additionnons les termes deux à deux ; appelons // la variable d'intégration ; on a :

sin ny sin nx -j- cos in/ cos nx = cos n(i/ — x .

V(x) = — I V[y)dij y + >., cos /î ij — x) .

Arrêtons la sommation au /t''"' terme. Appliquons la formule du § 233, en remarquant que nous devons retrancher 1, puisque le premier terme (cos 0) manque ; il reste :

F[x)=^-^- I F(//)^('/ sin '-^ (?/— J-) hsin-^— ^ — . (1

Nous avons montré plus haut (|ue les termes de la série décroissent indéfiniment à mesure que le rang augmente. Appliquant le même raisonnement à l'intégrale (1^ nous concluons que, pour une valeur indéfiniment croissante de n , seuls restent à considérer les éléments très grands pour lesquels le dénominateur s'annule, c'està-dire pour lesquels on a x=zy.

Afin de simplifier l'écritlire, posons : y — xz=zz.

Négligeons l'unité devant 2n ; appelons // une quantité quelconque, mais petite. Remplaçons sin [z ; 2) par :; ; 2. Nous pouvons écrire (en

faisant sortir F(.r) du signe / , puisque nous n'en conservons que des

valeurs très voisines) :

^ F(j:«) r ^ sin /î3 ^^

Posons nz^=^\\ puisque n est très grand, nous pouvons encore écrire l'intégrale sous la forme :

y sin; ,, /" "" sin ;

nh ^' ' •/ — oc

Nous aurons l'occasion de montrer (§ 304) que la valeur de cette intégrale est -::, ce qui prouve la légitimité du développement.

Il suffit d'un mot pour démontrer la proposition énoncée ci-dessus : pour les discontinuités y la série représente la moyenne des valeurs de la fonction.

Au voisinage du point de discontinuité , l'intégrale :

clz, et l'intégrale équivalente : / — r-^d^,

se rapportent pour moitié à la valeur de V(x) qui précède immédiatement la discontinuité, pour moitié à la valeur de Y(x) qui suit immédiatement la discontinuité. Autrement dit, quand on intègre de

— /i à 0, le facteur F(.r) qui sort du signe /*, a la valeur de F(a?)

qui précède la discontinuité; quand on intègre de 0 à /t, ce facteur a la valeur de F(.r) qui suit la discontinuité. La valeur de la série est la moyenne des valeurs de la fonction , puisqu'on a évidemment :

/ sm nz , / sin nz ,

27 i. Calcul des coefficients de la série de Fourrier à partir d'une courbe expérimentale.

/". — Le problème qui se pose aux physiciens est le suivant. L'expérience fournit une courbe périodique ; on demande quels sont les coefficients des termes de la série de Fourrier nécessaires pour la représenter. Il s'agit ici de calculer, non pas une série infinie , mais les premiers termes du développement, les seuls qui aient de l'importance : le phénomène simple dont le phénomène réel se rapproche, serait généralement sinusoïdal ; le phénomène réel en diffère par des termes d'amplitude parfois grande, mais toujours rapidement décroissante à mesure qu'augmente leur numéro d'ordre.

^''. — La méthode consiste à utiliser les équations qui expriment la valeur des coefficients :

A„ = — / y sin nx.dx, B„i=— / ycosnx.dx,

c'est-à-dire à calculer approximativement des aires élémentaires , connaissant un nombre fini d'ordonnées.

Les ordonnées des courbes qui limitent les aires , sont les ordonnées de la courbe expérimentale î/r^F(.T), multipliées par sinnx ou cosn.r, suivant qu'il s'agit des coefficients A ou des coefficients B. Les méthodes de Poncelet ou de Simpson (§§ 165 et 166) sont utilisables, mais elles sont pénibles.

^°. — Dans la pratique, on opère de la manière suivante.

On marque sur la courbe à étudier les deux extrémités d'une période, et l'on mesure quarante ordonnées équidistantes ; la pre-

326 COURS DE MATJIEMATIOUES GESEIiAJ.ES

mière correspond à x = {). La quarante et unième correspond à x=z2t.: elle est égale à la première, puisque nous supposons le phénomène périodique et continu. Dans ces conditions, Aa:=:arc 9°: le quotient z ! A,r, est égal à 20. On a, par exemple :

20A, =:7/osinO + //,sin 9*^ + //, sin 1 8" + . . . 4-//vo sin 351\

20A, = ;yosinO + ?/,sinl8° + //;,,sin36°+... +;y4osin702% ^ ^

et ainsi de suite.

Or il est facile de voir que tous les sinus et cosinus à utiliser sont, aux signes près, égaux à :

ces 9", coslS". cos27". ..., cos9()". (2)

L'opération consistera en délinitive à multiplier les quarante ordonnées par les dix cosiims ; nous sommes sûrs d'avoir ainsi tous .les fadeurs néces.saires j)our calculer les 20 premières valeurs de A et de H.

4". — Pour simplifier les calculs, il suffit de construire une fois pour toutes une table donnant les multiples des cosinus (2) par 1, 2, 3, ..., S, 9. Les multiplications par un nombre quelconque deviennent rapides, puisqu'on a les produits partiels. Une autre table pourrait donner les équivalences entre les cosinus (2) et les lignes trigonométriques qui entrent dans les formules ( l i. Il est plus sûr d'écrire simplement les iOO produits dont il est parlé au Z?"", en un tableau de quarante lignes et de dix colonnes, et d'utiliser des papiers percés de fenêtres, découpés une fois pour toutes et indiquant pour chaque coefficient les produits à employer avec leurs signes.

Si simple que soit la méthode, elle est assez longue. Mais de pareils calculs ne se présentent que dans des cas assez rares ; quelques jours y peuvent être dépensés sans inconvénient.