Analyseur harmonique

i". — Le premiei- problème à résoudre est de composer mécaniquement des mouvements sinusoïdaux en nombre quelconque, ayant des amplitudes quelconques. Pour des raisons mécaniques, on somme séparément les séries :

S, = Al sin X -j- A. sin 2x -\- ...

So = Bj cos .r -f- B. cos 2x-\- ...

L'appareil de Michelson se compose de 80 roues dentées H,, Ho, ...Rro, montées folles sur un arbre A et engrenant respectivement avec 80 autres roues R,, Ri,, ...Rio, montées sur un arbre A' dont elles sont solidaires. Les dents des roues en prise sont calculées de manière que, pendant un tour de l'arbre A', R, fasse un tour, R2 deux tours, ...,Rso quatre-vingts tours.

9^. — On s'appuie sur la propriété des ressorts spiraux de subir des allongements proportionnels à la traction, ou inversement de

créer des tractions proportionnelles aux allongements. La roue R entraîne un excentrique E par Tintermédiaire duquel elle imprime aux balanciers BOG et O'DF des mouvements alternatifs très sensiblements sinusoïdaux (voir Mécanique, § 157).

L'amplitude de l'oscillation du point F dépend de la position du point de contact G de la tige DG avec le balancier BOG ; elle est proportionnelle à la distance OG, qui peut être positive ou négative.

Il y a autant d'appareils que de roues, soit 80. On peut donc imposer aux points F^, F^, ... F^o, des oscillations de périodes rela-

Fig. 191).

tives et de phases convenables, et d'amplitudes arbitraires ; nous les appellerons amplitudes des éléments de la machine.

Aux points F sont attachés des ressorts r qui agissent sur un cylindre d'axe A". Le cylindre est rappelé dans une position d'équilibre par un ressort r', très fort vis-à-vis des ressorts r. Les déplacements (identiques) des points K^, K2, ... sont toujours petits visà-vis des déplacements (différents d'un point à l'autre) des points Fi, F2, ... ; les 80 ressorts /' subissent donc à chaque instant des allongements proportionnels aux élongations des points F; par suite, ils exercent à chaque instant sur le cylindre un couple proportionnel à la somme algébrique de ces élongations.

Ainsi se trouve résolue la sommation mécanique d'un nombre quelconque de mouvements s'effectuant suivant des lois quelconques. Ici ces lois sont sinusoïdales avec des fréquences variant comme la suite des nombres entiers ; mais la solution est générale.

3°. — Reprenons le problème qui consiste à obtenir un déplacement du point P proportionnel à la valeur de la série :

Si = Al sin a? -|- A2 sin 2iP -f- A3 sin 3a: -|- • • •

Imaginons les roues K' calées sur l'arbre A' de manière que simultanément tous les excentriques soient dans leurs positions moyennes. Il en sera de même des allongements des ressorts r dont les tensions sont alors équilibrées par la tension du ressort r' . La pointe P est dans une position qui correspond à Si = 0, à partir de laquelle seront comptées ses élongations. Disposons les leviers DC. de manière que les distances OC soient proportionnelles à A,, Aj, ... Quand l'arbre A' tournera , la pointe P aura un déplacement périodique, proportionnel à la valeur de la somme Sj.

Remarque I. — Quand F se déplace dans un sens, la tension du ressort r augmente ; quand F se déplace dans l'autre sens, la tension du ressort /• diminue. C'est la différence entre les tensions et la tension moyenne qui intervient : elle est positive ou négative. La somme des tensions moyennes est équilibrée par le ressort r' .

Remarque IL — Le profil du l)alancier BOG sur lequel s'appuie la tige DC, et qu'on suppose dans la position moi/enne, est un cercle dont le centre est la position moyenne du point D. Dans ces conditions, le déplacement du point de contact G n'entraîne aucune modification dans les positions moyennes.

i\ -~ Pour sommer la série S,,, il faut que les roues R' soient calées sur leur axe A' de manière que simultanément tous les excentriques soient au bout de leur course. On peut obtenir ce résultat , soit en doublant le nombre des roues et calant les deux systèmes une fois pour toutes, soit en modifiant automaticjuement et simultanément le calage de toutes les roues ou de tous les excentriques (ce qui est plus facile), de manière à passer de la condition énoncée au ,"?" à la condition présentement nécessaire.

;>". — Une des applications les j)lus curieuses de \ analyseur harmonique ^ est la détermination mécanique des coefficients A„ et B„ des termes de la série nécessaire pour représenter une courbe expérimentale donnée. C'est l'opération inverse de la précédente, la plus utile en réalité, celle qui a donné son nom à l'appareil.

Nous avons : A„ = — / Vi.r) sinnxdT.

Dans une période de la courbe expérimentale, traçons p (ici 80) ordonnées équidistantes 81 avec la première ordonnée de la période suivante). L'intégrale qui entre dans l'expression de A„ est proportionnelle à la somme :

q prend successivement les valeurs 1, 2, 3, ..., /> ; le nombre n est constant.

Or imposons pour amplitudes des éléments de la machine, des quantités proportionnelles à iji, ?/2, ... La machine fournit la fonction :

Sj = î/i sin X -[- 2/2 sin 2x-{- ...z=y y^ sin qx.

Traçons cette courbe qui est périodique et continue. Divisons sa période au moyen de p ordonnées. Leur équidistance est 2%', p. Prenons la valeur de la fonction pour la n*^'"* ordonnée. On a :

^' ^Ajx '^' ^'" ^"^ "^^i ^' ^'" V ^ T"

Le résultat est proportionnel à A„. Les différents coefficients Al, A2, A,j, sont donc proportionnels aux ordonnées équidistantes de 1& courbe continue qu'on obtient en donnant :aux éléments de la machine des amplitudes proportionnelles aux ordonnées équidistantes y de la courbe à analyser.

273. Nature des équations différentielles. Équations du premier ordre.

On appelle équation di/fcrentielle une relation entre la fonction y, la variable r, et un nombre quelconque de dérivées :

di/ Jhj 177' dx"-'"

Rendons- nous compte de ce qu'expriment les équations différentielles.

/''. — Soit le faisceau de courbes :

a est un paramètre, constant pour chaque courbe, qui varie d'une courbe à l'autre. Cherchons s'il n'existerait pas quelque propriété indépendante de la courbe considérée, par suite indépendante du paramètre a. Différentions (1), en considérant a comme constant, ce qui revient à chercher une propriété définie par deux points voisins d'une courbe particulière du faisceau :

|frf,r + |^% = 0. (2)

L'équation différentielle (2) exprime une relation entre x, ;/ , et la pente de la courbe considérée, r^elation commune à toutes les courbes, puisque a est éliminé du résultat.

Par exemple, soit le faisceau des cercles :

{x — Toy-+i7/—y,r- = RK Ils admettent tous pour centre le point de coordonnées .r,,, i/,,. Différentions : (.r — x^) dx -}- (// — }/o) dy = 0. Cette équation est obtenue en supposant R constant : elle est valable pour une courbe du faisceau. Mais comme R n'y entre plus, elle est ég^alement valable pour toutes les courbes du faisceau. Elle

exprime que la normale passe par le point fixe de coordonnées Xq, ^/o- '2°. — A la vérité, nous supposons que la diiférentiation chasse immédiatement le paramètre. Dans le cas général, nous en sommes quittes pour une élimination supplémentaire.

Soit, par exemple (fîg. 191), le faisceau de paraboles y^=z2pXy admettant toutes Ox pour axe , passant par l'origine 0 où elles sont tangentes à Oy.

DifFérentions et éliminons p entre Téquation donnée et Téquation obtenue :

y'=^2px,

11 vient :

dy dx

ydy^'pd

Fig. 191.

qui exprime que les tangentes aux points de même abscisse OA = .t, passent par le point A d'abscisse 0Â = — ^.

Le paramètre p a naturellement disparu de l'équation (3).

,^° L'équation donnée peut contenir plusieurs paramètres.

Par exemple : y^- = 2px -\- q^ , (4)

représente : soit un faisceau de paraboles identiques, mais ayant glissé l'une par rapport à l'autre parallèlement à Ox [p constant, q variable, faisceau I); soit un faisceau de paraboles de même axe, de formes différentes, mais passant toutes par les points a:- = 0, yr=z^q (p variable, q constant, faisceau II). Différentions :

ydy :=pdx. (5)

L'équation (5) exprime une propriété commune à toutes les courbes du faisceau I ; la pente de la tangente est la même pour les points de même ordonnée sur toutes les courbes du faisceau.

Pour avoir une propriété commune aux courbes du faisceau II, éliminons/) entre (4) et (5) :

11 va de soi que nous ne pourrons éliminer à la fois que l'un des paramètres.

4''. — Réciproquement, une équation différentielle du premier ordre (c'est-à-dire ne contenant que la dérivée première) :

M{x,y)dx -j- ^{x,y)dy = 0,

exprime une relation entre la pente d'une courbe d'un faisceau et les coordonnées. Intégrer cette équation, c'est chercher la fonction y de

».'»2 inn'iis nr: st\riii:M.\'nQn:s ceskum.I'.s

.1 (/ni, ('(Hifcuanf. un /lurnniHrr ur/ntniin\ reproduira pur di/férentiufion t'f nu hcsnin par (H'uuinatinn l'rffuutijtn iliffrrruHollr donnée.

274. Équation du second ordre, d'ordre supérieur. Intégrales particulières

/ . — Hrprcnoiis le raisccui de j);ir.«l)ole.s :

Mil (li'rivjml deux lois, nous tjMciions :

//./• ' // ' f/./' //' ' J./' "^ // dj' ~ ' ^ '

Nous conHlruisoMs iiiiisi imr ('(|iuilioii dit second ordre, c Csl-h-dirc C()iil(>niiiit une (Ici'ivrc sccondr. Ixs piiiMmclrr.s oui dispuru : l'o(|ualioii (li) <'X|»riin<' doue uin' pi<»pri('l»' commuiH' à (oiih's los paraboles «pi'cui jK'ul ohlcnir m doiiiianl des valeurs </uelvon(/ues aux deux pannnèlres p e( 7.

t'". ('K'uéialeiiH'id, soil /(•',//,/<, />) 0, une tMpiatiou représtMilant une douhle infinité de eourhes. Deux (iérivalions pur rapport îi X donnent :

(V/- ' Oi/ d.r

Mnire ces trois éipndious, élinnin)ns u et />. Nous obtenons une écpnilion dilîerentielle du second onh'e , exprimant une propriiHe eonnnune à la double inlinité dv eonrbes.

ItéeiprojpuMuenl , soil une JMpiidi<»n :

I/inb"»f<rfi', e\»sl ebereluM' une fonelion / [.i\ 1/, a, h) 0, eontenant deux paramètres arbitraires et reproduisant ['\) pur dérivation et éli niination.

;>". On peut IrouviM* des fiïnelions «pii reproduisent [l\) pai

dérivation, ntais (pii ne (contiennent (piune eonstante aibitraire on pas tit» oonstanle. On les appelb' intéij raies purticulièrru , par oppo sition avt»e les inteijrales i/enerales tpie innis avons définies. Ainsi l'étpialion [2) est salisl'aite par b's paraboles i/- "2/>.r; nniis ces eourbo» no sont pas los seub»s auxcpielles ré(|uution (2) convienne : elb»s et>nstituent une inttujrale particulit^re.

(a»ttt» notion d'intégrale païticuliére s'applique aussi aux écpuitions du premier (U'dro. Par exemple : //* ; 2r, est une s(»lution parti eulièn» de l'écpuition [',\) du paragraphe précédent.

/ , Oénéralenicnt, soit une fonction :

roMrnoNs di'u'iniks i'ak vnk i':(jrAri(>i\j Duii'ini.NriiLLE 33.1

conlon.iiil // pnranuHreM nrhihaircs. Dt-rivoiis // lois. Mnlic (i) («t Igh n (''(|iiul,i()ns ohlciUKvs, (''liminons Itîs // piiianicl ics. Nous ohiciioiis une (''(iiialiou (liiri'i'cnlicllc du //"""' ordre :

Invciscnu^nl, inlc'^rcM' (ri), v\\s\ ('licF'clicr' une l'onclion (4) conlcnauL // païainMros arbitraires el ipii redonne (l\) par dérivation et éliinination. Toute fonction (pii ledonnt* (•")), tnais ne eontic^nt pas n paramètres arbitraires, s'appli(pie m moins d'ohjds <jue (H) : c'est iiin^ / // l(''<i m le /)a rlic a Ui^rc .

H)". Voici un exemple cpie nous reli'on veions souvent.

Soit : // A sin to (./• — x). ((i)

On obtient pai- deux d(''ri vations suc(U\ssiv(;H :

; — i\r,)C()S(i> ./• — a), ; ,, A(.)^sin f.)(./' a);

<ioh : ;;;{ I ,.,',, 0. (7)

L(;h parainètii'S A et a ont disparu l)onc (7) est nnc^ (''(piation dif lVM-enti(dl(^ du second oi'dre dont ((») es! l'inié^iab; ^('nc-rab;. Les fonctions :

7/ - - sin f.) (.r — a), // A sin M.r, // sin (.>./•, (8)

sont d(îs intéf^raliîs particidières. Mlb'S satisfont h (7), mais (7) convient à d'autres fonctions.

li'j'cpiation (7) représente le mouvemeiil d un mobile attire par un c(uitre fixe pioportionJudicMnenl a la distance. L<' njobile exécute dcH oscillati(Uis isocliron(îs (péi'iode indépendante (\i' l'amplitude) autoui* de sa position d'é(piilibi(* 1 mouvements ((») oii .r représenter le temps,// la distance i^ l'ori^-intr considérées comme centrer d'attraction]. I-e problème mécani(pi(» comporte deux arbitraires : l'amplitudcr A de l'oscillation, sa pliase y. <pii d('*p(uid de l'instant où b' mobile est lancé. L'intéj^rabî jçénérab* doit exprimer tous les rïiouvtunents possibbss et, [)ar suite, (MMitcuiir c(»s deux paramètres /) (hUormiiicr jnir les candHions linposâos. Au contraire, dans les intéj^^rales pjirticulières (S), (|ui l'cfjrésenteuit d(;s oscîillations possiblcts, nuus non toutes les oscillations possibles, un ou deux pararnèties ont reçu des valeurs imrtlculiôrcs.

I^<i<|iiali<>ii.s clifh'TiHilidli^s <lii premier onlrc. 275. Séparation des variables.

/". Une é(piation dillerenticdle dn jM-emiei' oidre (sst une reda-

tion enti'c .r, // , («t dfi'.d.r. On ptîut toujours la Hup[)OHei- mise sou»

la foruMî : M (.r, //) r/./' -| N (r, // ) (/// 0.

Si les termes en x et en ?/ sont alors séparés; autrement dit, si

l'on a : M (x) dx + N (.v) dy = 0,

l'intégration est ramenée à des quadratures , c'est-à-dire à l'évaluation de deux aires :

r }A(x)dx -f- ri^[!i)dy =: 0.

Supposons l'intégration elfectuée : on obtient :

j^o et ;/„ sont les valeurs de x et de // dont on impose la correspondance. En cU'et, l'intégrale représente un faisceau de courbes ; on peut déterminer une des courbes du faisceau, en lui imposant de passer par un point arbitrairement choisi. Précisément, x^ et y^ sont les coordonnées de ce point. Il revient au même d'ajouter une constante arbitraire : C = F [x^) -t-/*(//o)-

9» — La séparation s'effectue aisément (juand M et N sont des fonctions homogènes et du même degré ()^ i»>) des variables x et ;/.

On peut alors écrire :

Posons : // ; .r r=: 3, dy = xdz -(- zdx ;

il vient : M(» dx -f- N(3 j (xdz + zdx) — 0 ;

<^ j N {z)dz

,5". — Soit, par exemple :

xdy — ydx = dx ^x^ -j- //* ' '(v — ~dx=dxy \ -j- -~- ;

dx dz

xdz -f zdx — zdx = dx\'i-\-z'' , ^ =-^«=~ .

\o^x= log[s + Vr+?j-f log C.

En effet, il est indifférent d'ajouter la constante arbitraire sous forme de logarithme. Passons des logarithmes aux nombres :

Revenons à la variable y :

etenfm : x^=zC[y-{-)lx* + y'], x'=^2Qy + 0.