Équation linéaire du premier ordre

On appelle linéaire du premier ordre l'équation :

où P et Q sont des fonctions de x. Elle ne contient ni les puissances, ni les produits de ij et de sa dérivée. Pour l'intég-rer, posons : y = uv ] u et V sont deux fonctions de x, dont l'une reste arbitraire.

Profitons de ce que l'une des fonctions est arbitraire, pour écrire :

è + P" = "' Î=-Prf'', " = exp(-/pd.r). (3)

Supposons calculée la fonction u. L'équation (2) est devenue :

dv = ^'^ v= I Qexp( IFdx)dx-\-C;

et enfin : y = ex

Exemples.

pi—j FdA / Q exp (f Pdx\dx + G

^^-Soit: J + .V

P=:l, Q=:— r; f?dx= Cdx=:x;

y =e~ ^\ — / xe^dx -f- G , — / xe^dx = e^[ 1 — x) ;

et enfin : // = 1 — x -{- Ce~ ''".

2». -Soit: ^ + IL^,,.

dx ' X '

P = l:.r, Q = — .r; Pdx = \ogx\ expf Pdx]=x.