Solutions singulières des équations du premier ordre

L'équation: Mdx^^dij = i), (1)

exprime une relation entre les coordonnées d'un point P d'une quelconque G des courbes du faisceau :

/Wj) = », (2)

et la pente de la tangente en ce point. Considérons Tenveloppe des courbes du faisceau (2) et le point de contact P de cette enveloppe avec la courbe G(!;;129). Puisque l'enveloppe et la courbe sont tangentes au point P, la relation exprimée par (1) convient aussi à l'enveloppe. Celle-ci est donc une solution singulière de (1) qui ne rentre ordinairement pas dans la solution générale (2).

Exemple.

Soit la droite : j/z=z2aj- — a-, (1)

qui dépend du paramètre a. l'éliminons h entre ( 1 ) et sa dérivée :

<'/ dr

L'équation diiîérentielle (2) admet (I) comme intégrale générale. Cherchons l'enveloppe des droites (1). Il faut (^ 129) éliminer a entre (l) et la dérivée de [\ j par rapport à a :

C'est une parabole. Elle satisfait à l'équation (2).

279. Solution graphique de Féquation linéaire : courbes isoclines.

J". — Un obtient la forme générale des courbes intégrales par la construction des courbes isoclines. Soit :

l'équation ditîerentielle. Construisons (ce qui n'implique aucun tâtonnement) le faisceau des courbes :

où C prend successivement toutes les valeurs de — oc k-{-oc. Ce sont respectivement les lieux des points pour lesquels les pentes des courbes intégrales sont les mêmes. Elles ont même inclinaison sur Ox. Soit 1, 2, 3..., des courbes isoclines consécutives. A partir d'un point A sur i , traçons un segment de droite faisant avec Oj:^ l'angle caractéristique de la courbe 1 . Arrêtons-le à peu près à égale distance de 1 et de 2. Changeons alors la pente : prenons celle qui correspond à 2. Traçons un segment de droite s'arrètant à peu près à égale distance de 2 et de 3. Changeons alors la pente; prenons celle qui correspond à 3. Et ainsi de suite.

A partir de points A différents, on trace de la sorte des courbes d'autant plus exactes que les isoclines sont plus rapprochées ; elles fournissent au moins Tallure générale des courbes intégrales.

9<^, — Sur chaque courbe isocline, il est intéressant de considérer le ou les points pour lesquels sa propre pente est égale à la pente caractéristique. Chaque courbe isocline correspondant à une valeur constante de G, sa pente dy '. dx est fournie par les équations :

cy/ = o, |^</.+-|./, = o.-

Écrivons Ma condition précédemment énoncée; il vient :

Remarquons que dy ; dx représente ici la pente de la courbe isocline, tandis que dans l'équation (4), dy ; dx représente la pente de la courbe intégrale.

Nous déterminons ainsi dans le plan une certaine courbe, qui est un lieu de points d'inflexion pour les courbes intégrales.

En effet, de part et d'autre du point de contact avec la courbe isocline considérée, la courbe intégrale coupe deux fois la même courbe isocline voisine ; donc sa pente a un maximum ou un minimum au point de tangence.

On étudiera sous ce rapport l'équation :

dont les courbes isoclines sont des cercles concentriques. La courbe des inflexions est :

en coordonnées polaires :

r^ = — cotgO.

S''. — Il peut exister des inflexions autre part que sur la courbe (2).

Soit, par exemple : -~^x [x — I).

Les courbes isoclines sont des droites parallèles à Oy ; la pente qui est -^-oc pour x^H^oc, s'annule pour x = i), .r^l, et passe par un minimum pour j?z=0,5. Les courbes intégrales ont toutes une inflexion sur la droite ^:=0,5, à laquelle elles ne sont pas tangentes. Du reste, la courbe (2) est tout entière rejetée à l'infini.

4\ — Soit l'équation : -^--^ ■== J^ .

Les lignes isoclines y = 2Cii?, sont des droites passant par l'origine. Traçons-les, en indiquant les inclinaisons correspondantes;

Cours de Mathématiques générales. — H. Bouasse. 22

nous obtenons aisément des courbes intégrales dont Tallure est celle des courbes de la figure 191. Effectivement ce sont des paraboles.

Nous pouvons généraliser. Chaque fois que les isoclines sont des droites concourantes, les courbes intégrales sont homothétiques (§ 3Gi) ; le point de concours est centre dhomothétie.

5". — Soit l'équation différentielle :

On a. -d:r'=^- >I = TTÏ^^-

Lescourbes isoclines sont des liori/.ontales. Pour G = ^::oc, )/ = 0: donc l'axe Or est le lieu des rebroussemonts avec tangente verticale. Les courbes intégrales sont symétriques par rapport à la tangente de rebroussemcnl, jiuisque toute courbe isocline y^=zy^^, correspond à deux valeurs égales et de signes contraires de la pente.

La pente est nulle pour // - ^ 2 R.

Traçant les courbes intégrales sur ces données, on retrouve, sinon la solution exacte (cycloides, s; lOOi, du moins des courbes de même allure.

6*". ^(JLATION DK GlAIKAI I/r.

Les lignes isoclines sont les droites :

Elles constituent les intégrales elles-mêmes, puisque le paramètre Co qui correspond ii la droite :

//=:iCo.r-f-/'(Co), est précisément la pente de cette droite.

Nous laissons au lecteur le soin d'étudier l'équation généralisée :

qui admet comme cas particulier l'exemple du 4^".

■"=-^?>rfx

Facteur tntéyraiit.