Intégrale le long d'un contour

/". — Soit la différentielle (/Q, détinie par la relation (tig. 192) JQ = M(/.r + N(/^.

M et N sont des fonctions de x et de y considérées comme variable indépendantes. Allons du point A au point voisin A,. Les accroisse ments Ax, A^, sont bien déterminés; sur tout l'élément AA,, le

fonctions M et N conservent sensiblement la valeur qu'elles ont en A; donc Taccroissement AQ est bien déterminé.

Il est rigoureusement calculable quand A;r et A// deviennent des différentielles.

Pour aller d'un point A du plan y à un autre point B , imposons une trajectoire AEB. C'est dire que les coordonnées x et y cessent d'être indépendantes ; elles sont reliées, par exemple, au moyen de la variable auxiliaire t :

fdQ=r{Mo' + m')dt

Fig. 192.

^1 et ^2 sont les valeurs de t pour les points A et B. La valeur de Q s'obtient par une quadrature, portant sur des fonctions de t\ on effectue par une intégration le long du contour AEB.

Mais (c'est là que nous en voulons venir), / g?Q dépend non seulement des points A et B extrémités du parcours^ mais généralement de la trajectoire choisie. Montrons-le sur un exemple.

9\ — Soit :

f/Q = xdy — ydx.

Les coordonnées de A sont ir^, î/j

Évaluons / dQ pour le parcours ADB.

Suivant AD, /g?Q = — y^ j dx = — î/,|

puisque dy est identiquement nul.

les coordonnées de B sont

Suivant BD, J dQ = x^Jdy =x^{y^ — y,),

puisque dx est identiquement nul.

Pour le parcours entier :

dQ = — 2/,(.r2 — a?i j + x-^iy^ — y y) = yioo.^y^x^ — 2x^yi- Evaluons de même / dQ pour le parcours AG. On trouve :

j dQ=^ ^1(2/2 — Vi) — y 2(^2 —Xi)=— yiXi — î/2a?2 + 2a?,î/2.

Enfin évaluons / f/Q pour le parcours AB. Posons donc :

y =z ax -\- />, dif = ad.r.

fdQ = — h fd.r = — h{x, — j;).

11 ne reste plus qu'à déterminer /), en écrivant que la droite passe par les points A et B. On trouve une troisième valeur de / dQ différente des deux autres.