Différentielle exacte

Ainsi quand on passe d'un point à l'autre du plan, / dQ a généralement une infinité de valeurs; à cliacjue trajectoire en correspond une. D où \ii question : jjruf-il arriver que la valeur soif unique et indépendanle de la trajectoire?

Pour cela, il faut évidemment que () soit [à une constante additive près) une fonction bien déterminée des variables jr, ?/ ; il faut qu'on ait :

Menons par le i)()int quelconcpie P une droite perpendiculaire au plan -rO}/. Portons dessus une lont^ueur représentative de Q, calculée après avoir choisi une valeur arbitraire de la constante Qo. Dans l'hypothèse (1), Q est représenté par une surface. En modifiant Qo, on obtient un faisceau de surfaces qui résultent du «glissement de l'une quelconque d'entre elles, d'une longueur quelconque, perpendiculairement au plan .rOy.

Quand on passe du point A au point B, Q varie de Qi à Q, :

Q.=.Q„ + /-(.r„ y,), Q,-Qo-'rA-^3, y.);

0,-Q,=/'(.r„^,)/'(.r., ^.)- La constante Qo a disparu.

Mais si Q satisfait à l'équation (1), on doit avoir :

''Q = àx ''■^ ^ .\v" '''^ ' ^' = '.V ' ^ = 6y' ■

O-- (^ 21) : '^^y =Yy^^ . d ou : ^^ = ^^. (2)

Ainsi les fonctions M et N ne sont plus arbitraires; elles doivent satisfaire à la relation (2). On dit que JQ est une différentielle exacte. Remarque.

Les notations -^ — , ^ , impliquent que Q satisfasse à l'équation (1), c'est-à-dire soit une fonction bien déterminée des variables

indépendantes x, y. |Toutefois, en Thermodynamique, les physiciens sont accoutumés à écrire :

alors même qu'ils savent pertinemment que c/Q (représentant la chaleur absorbée par un système dont l'état est déterminé par les variables a?, ?/, et la variation d'état par les différentielles dx, dy) n'est pas une différentielle exacte. Cela n'a aucun inconvénient pourvu qu'on soit prévenu. L'avantage de la notation (3) est de soulager la mémoire. Par exemple, ÔQ ; è^ représente ni plus ni moins le coefficient de dx dans l'équation (3); c'est une fonction bien déterminée de x et de y. Naturellement ce serait une faute grossière

de oser • b^Q ^'Q

^ ^^^ ^ ' hxby hyhx '

puisque Q n'est plus une fonction bien déterminée de x et de y.