Facteur intégrant
i\ — Soit : (/Q = Mdx 4- Ndy ,
une différentielle que nous savons ne pas être exacte : la relation (2) n'est pas satisfaite. Nous allons montrer qu'il existe une fonction
l{x, y), telle que : dS = ldQ,
soit une différentielle exacte.
En effet, soit: F(x, ?/) = Constantes C,
l'intégrale générale de l'équation : Mf/x-f- Nc/z/ = 0.
On a: -^clx + ^dy = 0;
par suite: M:(-g)sN:(||
Ces rapports égaux sont une certaine fonction 1 : I{.t, î/), de .r et de y ; de sorte qu'on a :
hF (^F
La différentielle : ldQ = {'Ml)dx-\-['Nl)dy, est donc exacte. !2°. — Une fois trouvé un facteur intégrant I, on en obtient aisément une infinité d'autres.
En effet, si dS = l{Mdx -f lSdy)\
est une différentielle exacte, il en est évidemment de même pour :
9(S)(/S = I(p(S) {Udx + ^dtj).
Donc 19(8) est un facteur intégrant, quelle que soit 9.
312 COURS DE MATHÉMATIQUES GÉyÉRALES
S"". — Exemple.
Reprenons Téquation différentielle : d(l^=xdy — ydx.
Intégrons l'équation : xdy — yd.r^=0.
-^ = -^ , log X = log // — log C ; ¥{x, y)=^ = C.
DifTérentions l'intégrale générale obtenue : nous avons identiquement :
ôF , , ùF xdy — ydx
-r — dx -i- ^—dij = — - — ir^ = 0 .
Le facteur intégrant le plus simple est 1 = — v*, mais nous en
avons une infinité de la l'orme : \tO\^—).
i°. — Application.
En Thermodynamique , on montre que la quantité de chaleur absorbée, quand un système passe d'un état à un autre état, dépend de la manière dont s'etToctue la transformation :
dQ=^Mdx + y:dy,
n'est pas une différetilielle exacte.
Le principe de Garnot-Glausius revient à dire que, pour certaines transformations ^ le facteur intéf/rant est rinverse de la température absolue :
est une différentielle exacte. La l'onction S ainsi définie est l'Entropie.
É([uati<>iis (liffôrenticUos linéaires.
Il n'entre pas dans le cadre tle cet ouvrage de démontrer des théorèmes que le lecteur n'aura jamais à appliquer. Nous préférons qu'il garde une idée nette des matières fondamentales. Nous limiterons donc notre étude à quelques types usuels d'équations.
283. Equation linéaire à coefficients constants, du second ordre, sans second membre.
/''. — Soit à intégrer l'équation :
d\i/ dy
a, h, c, sont des constantes. L'équation est linéaire, du second ordre, à coefficients constants. Nous pouvons nous débarrasser du second membre en remplaçant y par y -\-c '. b^ ce qui revient à
transporter l'origine des coordonnées au point d'abscisse nulle et d'ordonnée — c ', b.
2". — Soit donc à intégrer l'équation :
Substituons la fonction : y -== Ae", où A est constant. 11 vient :
La fonction y est une intégrale, à condition que r soit racine de l'équation dite caractéristique :
Posons : r^ =r a -[- V^' — ^^ •> r^=^a — \ja- — h .
S''. — Racines réelles et inégales.
Si les racines r, et r.^, sont réelles et inégales, nous avons l'intégrale générale sous la forme :
îy r= Ae'-"'' + Be''*-\ (3)
qui contient deux constantes arbitraires.
Les constantes sont déterminées par les conditions initiales. Dans la pratique, x représente le plus souvent le temps, y la position d'un mobile, dy \ d.r sa vitesse, d^jj \ dx^ son accélération. Pour déterminer les constantes, on pose habituellement que pour xz=0 (origine des temps , début de l'expérience ) , le mobile a une position î/o et une vitesse ^o. D'où les conditions :
?/o = A -|- B , î;^ = Ti A -|- /'^B .
Si, d'après la nature du problème, y ne peut croître indéfiniment, on doit annuler la constante d'intégration qui correspond à une racine réelle positive. Il est alors impossible de se donner deux conditions initiales arbitraires.
4°. — - Si les racines 'sont imaginaires (ce qui implique j6>>0), on doit les grouper de manière à faire apparaître des fonctions réelles. Les coefficients a et h étant réels, les racines sont conjuguées :
r^ = a-\-^i^ r^z=a — ,3i ; [3 = sjb — a- .
Ae^'"" = Ae'*'^ (cos 3.Z? ^ l sin ^.t) , Be''*^' =: Be^"^ (cos ^x — i sin pa?) ;
/yz=zze«-[(A+B)cosg.7; + /(A — B)sinp^].
Posons: A4-B=:P, /(A — B) = Q; il vient :
y = e«-^^' (P cos '^x -f Q sin ^x) = e'^M cos (p.r — ;j.).
On vérifiera par substitution directe que ces^solutions conviennent.
Ordinairement on a a <! 0 : l'intégrale représente un mouvement
sinusoïdal amorti^ d'amplitude M, de phase a, de période {i : 2;:
.'5 Si COURS DE MA THÉMA TIQUES (iÉyÉHALES
!)". Pour que le mouvement périodique soit permanent, le terme amortissant e'''' doit disparaître. D'où les conditions : a = 0, />>-0.
L'équation : ~~ -|- hi/ =- 0,
a donc pour intégrale générale 1 une ou l'autre forme :
y =P cos .r \h -j- Q sin .r \ h , i/ =: M cos (r \ 7> — ;j.).
6'". — Ce qui précède se généralise immédiatement pour une équation linéaire à coel'licienls constants d'ordre (juelconque. On substitue la fonction ijz=x\c''' : c'est une intégrale si r est racine d'une é(juation dont le degré est égal à l'ordre de l'éipialion dilférentielle proposée. Toute racine réelle donne une exponentielle; le système de deux racines imaginaires conjuguées donne un terme sinusoïdal amorti ou non amorti.
