Cas des racines multiples

/". — Si les racines de récjualion l2 sont égales, on a /) = a- :

La solution {'.\j devient :

j/ = [\ yWu'- . (:\)

L'intégrale (oi n"a plus la généralité recpiise; (die ne contient réellement (pi'une constante arbitraire A ~\ \).

Mais on vérifiera par substitution (pie '4) est satisfaite pour :

ic^". , La proposition est gt'nérale. Si re([uation caractéristique d'une équation diiï'érentielle linéaire, sans second membre, à coefficients constants, a une racine /• d'oiclre ni, elle admet l'intégrale :

La démonstration se fait })ar substitution, en sappuyant sur le théorème du ^ 43 : (junnd un j)oli/n<'>inr admet une raeine (tordre m, sa dérivée l'admet d'ordre m — I . sa dérivée seconde l'admet d'ordre m-2,...

Nous conseillons au lecteur de faire le calcul complet pour une équation de troisième ordre dont ré(piation caractéristique est supposée avoir une racine triple.