Équation du quatrième ordre

On rencontre fré(piemment en Pliysi(jue l'équation :

Le lecteur se reportera au § 227 , où sont étudiées les équations

binômes. L'équation caractéristique r^*=zh^^ rentre dans ce type. Elle admet les quatre racines :

Groupant convenablement les exponentielles c^"^, e~^^, on met la solution sous la forme :

y zz=z X cos hx -|- B sin /)x -f- G cosh hx -j- D sinh bx.

L intégrale g"énérale contient quatre constantes arbitraires qui seront déterminées, par exemple, au moyen des valeurs de deux des dérivées :

dy d^y dH/ „ ^ ,

—, -, "T^, — '-T, pour x = {) et x=l.

dx ' dx- ' dx^ ' ^

Dans la Théorie de TElasticité, cette équation sert à l'étude des vibrations des verges vibrantes; / est la longueur de la verge.

286. Équation du second ordre avec second membre exponentiel.

P . — Soit l'équation : ^—2a^-{-hij = Ae^\ ( 1 )

Il faut ajouter, à l'intégrale générale de l'équation privée de second membre (qui aura les deux constantes arbitraires nécessaires), une intégrale particulière n'ayant aucune arbitraire et faisant simplement disparaître le second membre. Essayons l'expression :

substituons dans (1). Il vient la condition :

S". — La condition (2) est illusoire quand w est racine de Féquation caractéristique, par exemple quand on a simultanément :

Etudions donc l'équation : -j-^ — : o^^y = Ae^^.

On vérifie aisément qu'elle admet l'intégrale particulière :

Ax ^

Les solutions sont semblables dans le cas où w est négatif.

Gonnaissant les relations (§ 230) entre les exponentielles imaginaires et les arcs, nous pourrions déduire de ce qui précède les résultats relatifs au second membre sinusoïdal; il est préférable de reprendre la question.