Équation du second ordre avec second membre sinusoïdal

Soit à intégrer réquation :

-j-~ — 2a , -Ubij = Asm (,)T. (1)

ax- (Lr ' '' ^ ^

/". — Montrons qu'il existe une inté^i^rale particulière de la forme :

A sin 3 . , V f^.

u = :j sin( (o.r — £. 2)

Substituons (2) dans (li :

(o-sin £ sin ((.).r — z) -\-2/io) sin z oos (o.r — z) — h sin s sin(fox — i)

=: 2,'i(,) sin (,).r.

Prenons comme nouvelle variable 3 = o.r — z '.

(iv sin £ sin 3 -[- -'*f'> -^^i'^ - <-'f>^ '• — /' ^''^ ^ ^^^^ ^ = -'*<•> sin (3 -]- s).

Cette équation devant être identi({uement satisfaite, développons sin(3-[-î); égalons dans les deux membres les coefficients de sin 3 et de cos 3. D'où les conditions :

((0- — h) sin z = 2a cos £ , 2.* sin £ = 2a sin £.

La seconde est une identité. La prcmièie donne :

t^''. — L'inté«]^rale générale se compose donc de l'intégrale de l'équation (l) privée de second membre [solution amortie)^ à laquelle on ajoute l'intégrale particulière (2) { solution permanente' :

// z=r e'' Al cos ( ^.r ;j. ) .^ sin UiiJ' — £). (4)

••ad)

En etfet, (4) contient deux constantes arbitraires M et a, et satisfait évidemment à l'équation L, puisque l'intégrale particulière fait disparaître le second membre.

:]\ — Cas or a = 0.

Supposons a = 0; la solution particulière semble indéterminée. Mais faisons a très petit ; £ étant très petit, on a :

sin £ tg £ I

2a 2a lù' ~ Jb '

quantité qui est indépendante de z. Donc pour £ = 0, il vient

sm (ùx.

4". — La solution précédente ne vaut plus si /> = o)-. C'est dire que la période de l'intégrale générale de l'équation (l , privée du

second membre, est précisément égale à la période du second membre. Dans ce cas , on trouve une solution particulière indéfiniment croissante :

;/ = ,î — X cos o).r.

288. Intégrales particulières de Téquation du second ordre compliquée de termes petits. Équation des sons résultants.

Jusqu'à présent les intégrales des équations étudiées s'exprimaient rigoureusement au moyen des fonctions usuelles. Il n'en est généralement pas ainsi. Quelquefois l'intégration approchée n'est possible qu'en vertu de la petitesse des termes qui compliquent l'équation différentielle simple.

Voici un exemple où l'on ne désire qu'une solution particulière permanente approchée : nous y trouverons un développement en série par approximations successives.

Soit à intégrer l'équation :

^ + by + cy^ + P sin 2zp.r + Q sin (2zg.r + $) =r= 0. ( 1 )

Si le coefficient c était nul, nous calculerions exactement l'intégrale particulière qui correspond au phénomène périodique permanent, en opérant comme au paragraphe précédent. Nous supposerons que le coefficient c est petit.

Développons la solution en série par rapport à un paramètre auxiliaire -.

Posons: ,,/ = .,/, + ,==,/, + ,^,/,+ ... ; P = eP„ Q = sQ,. (2)

Substituons dans (1) ; égalons séparément à 0 les coefficients des diverses puissances de £. Nous faisons ainsi une série d'approximations.

Gomme première approximation, nous avons :

-^ + hy, + P, sin 2r/>.r + Q, sin (Sxr/x + S) = 0. (3)

Ellle revient à négliger le terme en y^. Nous savons que l'intégrale permanente correspondante (§ 287) est la somme de deux fonctions périodiques de fréquences p et q. Gela veut dire que chaque terme de la solution reprend respectivement la même valeur quand x croît d'un nombre entier de fois 1 ! /), ou 1 ; q. L'équation différentielle approchée étant linéaire, il y a superposition pure et simple des effets des deux causes représentées par les deux termes périodiques.

La seconde approximation donne :

dx'

Il faut introduire à la place de î/i l'intégrale précédemment trouvée dont la partie permanente est de la forme :

//i = PJ sin 2izpx -\- Qi sin [2T,qx -\- o). Développons les carrés des sinus et leurs produits. Nous aurons y\ en fonction de :

sin 27:(2/))ic, s\n2T,{2q)x^ sm2r\p — y).r, sm2T.[p-{-q)x.

Substituons dans (4) ; nous retombons sur une équation de la forme (2). Elle nous apprend que, comme seconde approximation , le mouvement est la somme de fonctions périodiques de fréquences 2p, 2q (harmoniques des fréquences p et q), p — 7, p-\-q (fréquences des sons résultants dilférentiel et additionnel).

Naturellement si les causes sont faibles, les amplitudes des harmoniques et des sons résultants sont petites; mais elles croissent vite quand les causes augmentent d'intensité.

La troisième approximation donne :

Nous n'avons qu'à répéter les raisonnements et les calculs précédents pour prouver l'existence , dans la partie permanente de l'intégrale, de fonctions périodiques de fréquences :

Il va de soi que si P ou Q sont nuls, il ne reste que les harmoniques 2r/, .Sr/, ... ou 2/>, 3y;, ... de la cause qui subsiste.

Le phénomène qu'interprète cette théorie est celui des sons résultants. Quand deux sons d'intensités suffisantes agissent simultanément sur un résonateur dyssi/métrique (par exemple , roreille) , on entend non seulement ces sons, mais leurs harmoniques et leurs sons résultants. Le premier ditîérentiel est particulièrement facile k distinguer.

289. Équation du second ordre où le coefficient de la dérivée première est variable. Remarques sur les résultats précédents.

Soit à intégrer l'équation :

d'y , 2 di/

^ y-\ J — hy = 0.

ax- ^ X dx ' ^

On vérifiera que l'intégrale générale est :

Asin(<o.r-t-£^ y= , avec la condition d=:(ù^.

Montrons comment la nature de ce résultat et de quelques-uns des précédents pouvait être prévue. L'équation :

est celle du pendule, pourvu que h soit positif. Si x représente le temps, y l'élongation, l'équation exprime en effet que l'accélération (négative) est proportionnelle à l'élongation ; autrement dit, que la force tend à ramener le mobile à sa position d'équilibre proportionnellement à la distance à cette position.

On trouve des oscillations isochrones, c'est-à-dire dont la période est indépendante de l'amplitude.

dy . • ,

Ajouter un terme — 2a -r^, où a est négatif, c'est introduire

une force proportionnelle à la vitesse, un frottement. Les oscillations sont amorties ; elles peuvent même l'être à tel point que le mouvement cesse d'être périodique : l'intégrale apériodique s'exprime à l'aide d'exponentielles (§ 283, ^°).

Introduire le terme r~, c'est donc introduire un frottement

.r dx '

qui diminue avec le temps. On s'explique alors comment le temps peut intervenir au dénominateur de l'amplitude et comment l'intégrale contient un facteur périodique.

Intégration par les séries.