Application des séries de Taylor ou de Maclauriu

/°. — - Considérons d'abord une équation du premier ordre :

11 est clair que pour toute valeur de x et de y, nous connaissons dy ; dx. Mais nous pouvons aussi calculer toutes les autres dérivées. On a, en effet :

d'y ^^f , ô/- dy ^/'^.y f/a?^ ^x ^~ hy dx bx ^ ' ày '

et ainsi de suite. Puisque l'intégrale comporte une constante arbitraire; autrement dit, puisque la seule condition à satisfaire est exprimée par l'équation (1), on peut choisir la valeur de y pour une valeur de x, par exemple pour x=zO (§ 275, /").

5"*. — Soit connue la fonction y = (!^[x), intégrale de l'équation (1). Développons-la par la formule de Maclaurin. On a :

Or nous pouvons calculer toutes les dérivées de la fonction 9(3?), par suite leurs valeurs pour r = 0 ; donc nous connaissons tous

les coefficients du développement en série. Il peut servir à calculer les valeurs de y pour toutes les valeurs de .r qui laisseront la série convergente. La constante arbitraire est o(0).

S""- — Ce que nous venons de dire s'applique à une équation différentielle quelconque d'ordre quelconque. Soit :

cl.r'' —fy^ y^ d.r ' •••' d.r'-' )•

Par dérivations successives nous pouvons calculer les dérivées d'un ordre quelconque supérieur à n. Elles seront toutes connues, par exemple pour .r = 0, à la condition de clioisir arbitrairement la valeur de y et de ses n — 1 premières dérivées pour .rr=0; ce sont les constantes arbitraires d'intégration.

On pourra donc obtenir tous les coefficients de la série :

,V = o(0) + ^o'(Oj + -~o"(0) + ...

sauf les n premiers qui, par leur indétermination, donnent à la solution la généralité nécessaire.

^". — Si, pour .r = 0, les dérivées à partir d'un ordre quelconque deviennent infinies, on emploie le développement de Taylor ({^ 254) en remplaçant 1i j)ar ./• — a, .r par a, conséquemment x -{- ti par .r :

y = o[x) = r^[a)-\- ^ , 'Oia)-\ ^^ o'(a) -|- ...

D'après la façon même dont nous opérons, la série qu'on obtient est précisément celle ({u'on obtiendrait en partant de l'intégrale générale supposée connue (pion développerait par la formule de Taylor.