Exemples

Retrouvons par développement en série quelques résultats connus.

/**. — Soit à intégrer l'équation : -^- = — . (1)

Toutes les dérivées deviennent infinies pour a"=:0; développons donc à partir d'une autre valeur de .r, par exemple .t = 1. On a :

A la place de x, prenons x — 1 comme nouvelle variable; remplaçons donc X par x-\-i. Posons o(l) fjui est arbitraire, égal à 0. La fonction qui (dans ces conditions) satisfait à l'équation différentielle (1), est donc :

11 nous est loisible de l'appeler logarithme naturel de i-{-x (§ 256).

S°, — Soit à intégrer l'équation :

On a :

et ainsi de suite. Naturellement y et y' restent arbitraires pour une valeur arbitraire de x. Le développement en série est :

2/ = ?(0) + TT?'(0)— 2T9(0)--3y9'(0) + TT#)+--

Posons : (p(0) = 0, o'{0)^l. Je définis ainsi une fonction qui satisfait à l'équation (2) et qu'il m'est loisible d'appeler sin^r :

sin X = , , q-i j g-j . . .

Posons : cp(0) = l, (p'(0) = 0. Je définis ainsi une fonction qui satisfait à l'équation (2) et qu'il m'est loisible d'appeler cosx :

cosa? = l — -2T"'~TT~~***

Je retrouve les résultats connus (§ 257). S°. — Soit à intégrer l'équation :

Le développement est donc :

y=9(0)[i + fr + |} + |^+...J;

o(0) est arbitraire. Posons-le égal à 1. Je définis une fonction qu'il m'est loisible d'appeler exponentielle :

+ TT + Tr +