Autres exemples

/°. — Soit à intégrer :

~dx^=—'^y^ y =—^y- W

y"' = -y-xy', rf^ = -.2ij' -xy" =.-2y' + x-y,

y^ = ~ 2y" + 2xy + x^y' = h^xy + x^y' , y""' == % + ^xy' — x'y,...

D'où le développement :

y = I ?(") + ?'(0) j ]-\ ?(0) |t + 2 9 (0) Il + |4?(0)|T+10o'(0)f; -...

Il reste à choisir les valeurs oiO) et o(0i de y et y' pour x = 0. ^°. — Soit à intégrer :

d^i/ ni (II/ -7-— H- f- -\- hi/ =^0, (2)

dont nous avons rencontré un cas particulier au § 289. On a :

j-y" -[- /////' -|- /jjij = 0, x//"-j-(m+l),v" + Vv' + /vy = 0,

la loi de récurrence est évidente.

Faisons ./• = (), on trouve : //' = 0. Donc, par ce procédé, nous n'aboutissons pas à une intégrale générale, puisque la valeur de la dérivée première est imposée. Nous ne déterminons qu'une intégrale particulière autour de la valeur j-=zO. On a :

'^'— m + 1 ' .Vo— ", /A- — (^f 3)(^^lj '••• Substituant, on trouve :

— Il— ^A^ i.'S.Jrx*

fl—^'^^'l^ — 2l'{ni-{-'i) + !i[(m+\)(m+'S)~

Pour //i = 1 , b = \ :

L'équation ici étudiée est une des formes de Véqualion de Bessel. Pour m = 2, b= i :

i . X- , X* \ sin X

C'est une intégrale particulière de l'intégrale générale trouvée au § 289.