Intégration des séries

/". - Soit une série dont les termes sont fonction d'une variable X et qui est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x^ et x^. 11 s'agit de montrer que la série des intégrales de ses termes, prises entre les limites x^^ et x^^ est conver-

gente et a pour somme l'intégrale de la somme de la série proposée prise entre les mêmes limites.

Soit en effet : f (x) = Uq-\- u^-\- ...-{- u^-\-Rn' Puisque la série est convergente entre les limites Xq et Xi, le reste (§ 254) R^ est infiniment petit quand n croît indéfiniment. Intégrons :

/"' f {x) dx = r wo j^ + • • . + r ^^ ^^-

Tant que le nombre des termes reste fini, il n'y a pas de doute sur la légitimité de cette expression (§ 153, 4°). Cherchons ce qui arrive quand on suppose le nombre des termes croissant indéfiniment.

L'intégrale / R„ f7.T est égale au produit de ^o — x^ par la valeur

moyenne de R = R [(iCo -|- Ô (iCo — ^'\-)\ (§ ^^^) 5 ^lle est, par suite, infiniment petite quand n croît indéfiniment : d'où la proposition énoncée.

^°. — La réciproque n'est pas vraie. Une série peut être convergente, et la série des dérivées de ses termes ne l'être pas.

Par exemple, la série :

^. cos X cos 2x . . cos nx ,

iH r~+~~2 +•••+ TT"'--

est convergente pour toute valeur de x ; la série : — (sin X -\- sin 2x-\- ... -\- sin nx. . . )

n'est convergente pour aucune valeur de x.

Mais on démontre que si la série des dérivées des termes du développement de f[x) est convergente , elle a pour somme la dérivée f'[x). Nous n'insisterons pas sur la démonstration.

3". — Il résulte du /° un procédé d'intégration. Soit à intégrer :

/ f(x)dx.

Développons f[x) en une série convergente : nous obtiendrons l'intégrale en sommant les termes de la série entre les mêmes limites.