Méthode des coefficients indéterminés
/". Si la fonction délinie par une ecjualion diilerentielle peut se développer en une série suivant les puissances négatives ou fractionnaires de la variable, on obtient \(\ développement par la méthode des coefficients indéterminés , plus commode que celle du i:^ 290.
Elle consiste à substituer dans Técpiation différentielle la série :
// rrr A.r^ + B.r.^ + ( :.rr -j- . . . , ( 1 )
et à déterminer les coeftîcients A , B,... et les exposants a, ,'i,... de manière à rendre identique l'équation obtenue. i?". — Prenons comme exemple l'équation :
^^ks'y, ^O'0^ (2)
La substitution donne :
Aa^oc — 1 )./• ^- - + B3((i— 1 ).r.^ - --^^ + . . . = A-Ax »- '' + kKr^ + "+...
Nous supposons que les A,B,... ne sont pas nuls; a étant le plus petit exposant, le ternie de moindre degré est certainement le premier: il est seul de son degré.
Il faut donc poser : a'^a — 1=0. (3)
Deux solutions possibles :
Prenons la première : a = 0. Le second terme ne peut pas être
FONCTIONS ÙÉFINIES PAR UNE ÉQLAriON DIFFÉRENTIELLE 355
seul de son degré ; sinon nous retomberions sur la condition (3). Nous devons donc poser :
dans Ihypothèse a = 0 ; et aussi :
kA
Pour la même raison que plus haut, nous avons :
y-2 = ^ + AZ, y = ,o+,i+2 = a + 2(/^ + 2).
GY(y-l).= AB,
kB^ A:A
^ — {2n + 3Y{2n + 4) — in + \(n-{- 2) (2n +'3y (2/z + 4) '
Et ainsi de suite, la loi est évidente. D'où la série :
I kr" " ' k^x'" " ^ 1
y = A.L 1 + („ ^îy(„+2) + ( „+d )7/,+2)(2^-4:3) (2«+4) + ' • ■ J- .
Nous pouvons recommencer dans l'hypothèse : a = 1. On trouve :
Nous obtenons ainsi deux solutions particulières de l'équation (2). Comme elle est du second ordre , nous avons l'intégrale générale en les additionnant : Aj et A., sont les constantes arbitraires.
5°. — Si n est positif et entier, les développements suivant les puissances positives coïncident avec ceux que donnerait la formule de Maclaurin. Si n est entier et négatif, l'une au moins des séries n'est plus acceptable, puisque certains termes deviennent infinis. Pour /i = — 1 la première est inacceptable, la seconde subsiste; donc la méthode ne fournit qu'une intégrale particulière.
Pour n = l, Â: = — 1, on retrouve l'intégrale générale du /** du § 292. Pour ^1=0, /c== — 1, on retrouve sin^r et cosic.
