Équation de Riccati et ses transformées

i" . — On appelle équation de Riccati l'équation :

On peut lui donner une série de formes qui se rencontrent en Phy-r sique et en Mécanique. Posons :

log u = gjydx, 9y = ~ ^" •

Calculons la dérivée dy \ dx et substituons dans (1). On trouve :

-^^^ghux\ (2)

^*. — Considérons l'équation :

dx' x^ - — ^'

Posons : 3 = .r'"??. Nous obtenons comme transformée : d'^v ■ 2m dv dx^ ' .r dx

^ dx ^

Nous aboutissons à un cas particulier de Véquation de Bessel. ^0. — Mais nous pouvons ramener l'équation (2) à la forme (4), par suite l'équation de Riccati à l'équation de Bessel.

Dans (2) chan^^eons la variable. Nous appliquerons donc les formules du g 20.

Soit t la nouvelle variable. On a :

r/^u r dHi^ dx^ du^ d'x 1 / djr^\' dlc* ~~ I J/' dt dt dt^ \ '\dt ) ' Posons : /* = x" " * ; on y :

dx^ 2t ^ —2/1 1^

TFT "~ (n -\- 2).r'*^^' ' ' dr ~ ~{fi-\-2Y r- ^^ '

Substituons dans (2); il vient :

d*u ^^ n L !/ii / ^ {K\

~dF~^ 7{Zf2 t dt —-f''' f/i + 2)«' ^^f

qui, à la notation près, est rétpiation (2) du iii 292.

équations difft'rentielles simultanées.

297. Équations différentielles simultanées linéaires à coefficients constants.

Expliquons le problème sur des exemples simples. /". — Soit les équations :

dt 4-a''+/\v---0,

où a, />, /), q, sont des constantes. Il s'agit de trouver des fonctions .r(/), y[t) qui, substituées dans ces équations, les transforment en des identités. Essayons la solution :

Nous obtenons les deux conditions :

Ar-f .iA+/;B = 0, - Br^- (/A -f- /vB = 0. (d i

Eliminons r :

A(7A + />B)=B(aA fpB), • qX- -\-{b — a)\B— p\\'=z^. (2,

Nous déterminons ainsi deux valeurs A-, et k, du rapport B ; A.

Transportons -les successivement dans l'une ou l'autre des équations (4) qui sont assurément compatibles : nous tirons pour r deux valeurs correspondantes, 7\ et /%•

L'intégrale générale prend la forme :

y =z /c^Ai^'»' -]- k^A^e*'^'.

Il y a deux constantes arbitraires A^, Ag. Les paramètres /c,, /Ta', ^1, Ta, sont complètement déterminés par les équations (1) et (2). ^*'. — Reprenons sur un cas plus compliqué.

-^ + ax+py=:(},

dHi

Essayons encore la solution :

Nous obtenons les deux conditions :

Br* + 9^A + /^B = 0. ^ '

Eliminons r, il vient :

K[qK + />B) rrr: B(aA +/)B). q\' + (^ — â)AB — /)B^ = 0. (2)

D'où deux valeurs k^ et A:.2 du rapport B ; A. Transportons -les successivement dans Tune ou l'autre des équations (1) : nous déterminons pour r quatre valeurs dz^n dz^'-i- L'intégrale générale prend la forme :

X = (Aie'-'' + Ale-''^') + {A,e'-^-' + A^e" *•*'), y — ki{A,e'-'' -f- A;e-'-*') -f K{A,e''^' + A'^e-"*').

Il y a quatre constantes arbitraires qui sont A^, A'j, Ag, A!,. Si les racines sont imaginaires, la solution s'écrit :

X = Al sin ((ùi^ — ai) -|- A2 sin [iù^t — a,).

y =: kiAi sin [lùit — ai) -|- k^A^ sin (wg^ — ^-2). Les quatre constantes arbitraires sont maintenant Aj, A2, «i, ol^. Les paramètres Wi, Wg, A-j, Ag, sont complètement déterminés par les équations (1) et (2).