Séparation des variables

/". — Théoriquement il est toujours possible de séparer les variables. Soient données les équations :

H8 COURS DE MATHÉMMIQLliS CÉSÉRALES

Dérivons par rapport à Ma première v fois, la seconde a fois. Nous obtenons en tout n -|- v -|- 2 équations où entrent les n -)- v -|- i quantités y, fj\ ... ;y'*+^ Leur élimination laisse une équation diiîérentielle en ./• et /, dont l'ordre ne peut surpasser, mais égale généralement le plus ^rand des nombres m-|-v, n-\-<^..

t^". — Appliquons aux exemples précédents. On a :

^ + ^•'" + P?/ ^ ^ ' 'Jj+ '(■' + Av = 0 ;

On tire immédiatement des trois premières écpiations : dt- +" -// ~l"l'-l>l'<J ^^.

,7^+('^ + ^^' ji + 'il>— M ■'={).

L'intégrale générale de cette écpiation contient (Icu.r constantes arbitraires : pour une valeur arbitraire de la variable /, je peux choisir .r et .v'. Les valeurs de /y, //', y" sont alors complètement déterminées : // par la première é(|uation , //' par la seconde ou la troisième, ?/" par la (juatrième. On peut aussi bien obtenir Téquation en y :

'!^îi +^^ + 1': 'la +':'!'- MW = »-

C'est la môme, puisque ré([uation c.'uactéristique (J 28.3) doit fournir les mêmes racines /•, el /*,.

:i'. - On a : ^ + .;.,■ + ,,,/ = 0. ^+ ,,.,■ + hy = 0.

Dérivons deux fois la première :

dKv d-.r d'y

dF+'' <ïr-'+^' dt^ =^'

Utilisons les deux premières pour éliminer la variable // :

dt' ^'"^"' dt' et aussi bien : .'' -\-\a-\- h] j— +1''*^ — /^Y)^ = "•

L'équation caractéristique est bicarrée : elle donnera immédiatement les quatre racines zb'*iT H- r^.

299. Remarques sur les équations différentielles simultanées.

/^ — Ainsi les intégrales du système de doux équations simultanées du premier ordre contiennent r/^z/.r constantes arbitraires ; celles

FOi\CTI0NS DEFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFERENTIELLE 359

du système de deux équations du second en contiennent quatre. On verra que les problèmes de Mécanique se ramènent généralement à trois équations simultanées du second ordre, reliant les composantes de l'accélération du mobile parallèlement aux axes à la somme des composantes des forces suivant les mêmes axes. En général, les intégrales contiennent six constantes arbitraires qui permettent d'imposer à une époque donnée la position du mobile et sa vitesse.

Nous ne démontrerons pas la proposition générale dont voici l'énoncé : le nombre, des constantes arbitraires est au plus égal à la somme des ordres les plus élevés de toutes les variables.

:^". — Par exemple, considérons le système :

dx

^ + cz+sx = i).

Essayons la solution : .r = Ae'', /y = Bc''', 3 = Ce'"'. On a pour conditions :

A(r + a)+/)B=rO, B(r + />) + r/G = 0, C(r -fc) -f .9Ar=:0. (1)

Convenablement écrites et multipliées membre à membre , ces équations donnent :

{r + a){r + h){r-\-c)-:\-pqs = ^, (2)

équation du troisième degré en /•. A chacune des trois racines /■, , 7*2, ro, correspondent des rapports bien déterminés :

Les intégrales générales sont :

y = k.A^e'-'' + kç>A,e''' + /vgA^e''^',

z ^- .^, A,e'-'' -]- r/oA^e'V + g.A.e"-^'.

Il y a trois constantes arbitraires qui sont : A,-, A2, A3.

3"' — Ce nombre de constantes est un maximum. Il peut arriver qu'il ne soit pas atteint; par exemple, quand les équations ne sont compatibles que s'il existe une certaine relation finie entre les variables.

Soit le système : f[x', 1/ , x, ?/, t) = Q[x, ;/, t),

On doit avoir la relation finie : '^(x^ ?/, t)=^>b[x^ y, /),

qui permet d'éliminer Tune des fonctions x ou y . Il ne reste plus qu'une équation diiTérentielle du premier ordre et par suite une seule constante arbitraire.

4'\ — Il est bien rare que les intégrales d'un système d'équations différentielles simultanées puissent s'exprimer avec les fonctions usuelles. On est amené à les développer en séries. Si remarquables que soient en Astronomie la forme de ces développements, le cadre de cet ouvrage nous empêche d'insister (voir Mécanique, §§ 351 et 582).

300. Intégrales indéûuies, intégrales définies. Puissances d'un sinus ou d'un cosinus.

/*". — On appelle intégrale indéfinie (§ 154, :^") :

ff(x)dx,

celle dont on n'a pas encore spécifié les limites. Elle nest déterminée qu'à une constante près qui pour l'instant est absolument arbitraire. Elle devient définie quand on se donne ses limites :

rf{x)dx.

JoLn

On peut déterminer exactement et directement la valeur de certaines intégrales pour des limites particulières, alors que pour des limites quelconques les expressions sont compliquées ou les résultats ne peuvent s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles.

Voici quelques exemples.

^°. — Montrons d'abord que le calcul d'une intégrale définie peut être immédiat. Les deux intégrales :