sin^xdx^ l'o^rr / cos~ xdx

sont évidemment égales, puisque leurs éléments se correspondent deux à deux : sinir = cos(7: ; 2 — x).

On a donc :

(sin~x-]-cos'^x)dxi= j f/^ = -^

S\ — On

/ • m 7 ^1^ -p • cos X . m — 1 / „, . j

/ sm"' X . dx = H / sin"*"- r . dx.

En effet, la dérivation des deux membres de cette équation donne :

. „ m — 1 . , , sin*" X . m — 1 .

sm'".rr=r: — - sm'" ' .r . cos- ./• 4- sin"'-^x,

qui est une identité. On trouve de même :

r m 1 cos'" ' .r . sin ./ , m — i /' ., ,

cos"* r . J.r =:= — + / cos'"--./' . (/.r.

Intégrons entre des limites qui annulent les premiers termes des seconds membres, par exemple, I) et - ; 2; il vient :

sin'" 'j? . (Ix ^

cos'" ' X . dx.

1= / sin"' ./■ . dx -— /

I™ = / cos'" -r . il.r r= /

1 • . , . fn i -

relations qui s écrivent : im^= 1». .-•

Supposons m pair et opérons de proche en proche; nous trouvons :

1,„ = - - y^-y— - ..-^ — - "ô : <'«i particulier l.> = -?- .

Supposons m impair, (m=l excepté, pour lequel l,= r\; nous

trouvons : 1 i= ; -„ '

.^ . 5 . 7 . . . ni

301. Fonction définie par une intégrale définie au moyeu d'un paramètre variable sous le signe / .

/". — Nous avons maintes lois rencontré des faisceaux de courbes :

// ^= fi-'^, w).

Pour chaque courbe du faisceau, le paramètre u est constant; l'ordonnée y est fonction de ./ . On passe dune courbe à l'autre en changeiant la valeur du paramètre. Par exemple, des cercles de même centre et de rayons différents forment un faisceau : la grandeur du rayon est le paramètre variable.

Avec Taxe Or et deux ordonnées fixes AA . BH , chaque courbe du faisceau délimite une certaine aire S, qui est fonction du paramètre u, puisqu'on la modifie en changeant la courbe et conséquemment le paramètre (fig. 193).

On a : S= f f{v, udx = o(u). (1)

^. — Cherchons la dérivée de S(u) par rapport à u: c'est

LyrÉGRALES DÉFINIEt>. LyTÊGRALKS DOUBLES

2i*du

le taux de variation c/S ; Ju, quand u subit un accroissement infiniment petit à partir de sa valeur actuelle.

Si l'intégration (1) est possible avec les fonctions que nous connaissons, elle fournit une certaine fonction o(u) qu'il suffît de dériver pour obtenir le quotient demandé.

Mais cette intégration est généralement impossible; il s'agit de trouver une expression qui ne la suppose pas.

v^". — Reportons nous à la figure 193.

Quand on remplace la courbe l (paramètre u) par la courbe voisine 2 (paramètre ti + (/«), Taire ADGB augmente de la bande DEFC. Celle-ci se décompose en une série de parallélogrammes tels que MNPQ (les courbes sont infiniment voisines) de base dx et de hauteur MN.

Or MNest ce dont croît l'ordonnée /"(.r, u) quand u croît de Ju, œ restant invariable. On a donc :

aire MNPQ = ^/'(.t, ") • <^iidx.

I/aire de la bande DEFC est la somme de ces aires quand x varie de a k h. D'où :

dS (lu

4^" . — Inversement supposons que sous le signe / se rencontre la dérivée d'une fonction par rapport au paramètre u qu'elle contient.

On

par suite :

I ■'Au)du= I [/•(.r,«)-/-(.r,u,)](/.r.

On vérifiera cette dernière relation en dérivant ses deux membres par rapport à «, ce que le S'' apprend à faire. Voici des exemples pour fixer les idées.