Premier exemple

Une droite se déplace de manière que la portion MN interceptée par les axes soit constante et égale à / = 0P (fig. 194).

Cherchons l'expression de l'aire S = ÂDCB, qu'elle limite, aire comptée positivement au-dessus de Ox , négativement au-dessous. Posons : ÔX=za, (JBr=/>.

L'équation de la droite est (5:j 131) :

y = xigu-\-l sin u ; u varie de x ^* r, . 2.

(r tg u -|- ^ sin u)(h- =

jy-

ig u-\-(b — a) l sin u ;

du

2 cos^ /;

-[-(/> — a)/cos u.

On trouve la même expression en dérivant sous le signe / par rap port à u, puis en intégrant le résultat. Ici

Kig. 19'J.

l'intégration est possible ; nous obtenons seulement une vériiication du théorème. Mais quand elle ne Test pas, il est souvent commode de discuter les variations de S, de chercher ses maximums et minimums sur l'intégrale de la fonction f(j\ u) dérivée par rapport ii u.

Revenons à notre exemple.

Pour u = z, la droite est couchée sur Ox ; l'aire S est nulle.

Elle s'annule de nouveau quand la droite passe par le point E milieu de AB : l'aire positive est égale h l'aire négative. On a alors :

— 21 cos u = Jb-\-a.

Elle passe par un maximum pour l'angle u donné par l'équation :

— 2/ cos' u = h-\~ a.

Enfin elle devient négative et très grande quand u tend vers t. ', 2.

On pourrait aussi bien prendre comme variable l'abscisse ; = 0N

du point N où la droite coupe Ox. On a :

er= — /cos u, S(;) =- [b — a) \ 7« — ç^

La courbe de la figure 194 représente S en fonction de Ç. Le lecteur construira S en fonction de u et comparera les courbes obtenues.