Intersection de deux droites

/". — Soient les droites :

ax -\-by -{-€ =0, a'x-{-b'y-\-c' = i}.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES

Déterminer leur intersection, c'est chercher un point dont les coordonnées satisfassent simultanément à ces deux équations : c'est donc résoudre le système (1) de deux équations du premier degré. On trouve immédiatement :

hc' — ch' ca' — ac'

^^-ah' — ha' ' ^— ab' — ba''

S". — Le point d'intersection est à une distance finie [x et y finis), excepté lorsque le dénominateur s'annule. On a alors :

ab' = ha\ a',h = a''.L'.

Les deux droites ont même pente : elles sont parallèles ^' on peut dire qu'elles se coupent à l'infini.

,9". — Quand y se présente sous la forme 0 ; 0, on a :

par suite, x se présente aussi sous la forme 0 .' 0.

L'indétermination est réelle : les deux droites sont confondues. En effet, nous pouvons multiplier les trois constantes a, b, c, par un même nombre m sans changer la droite représentative (§23,^o). Deux droites confondues ont en commun tous leurs points.

26. Problèmes d'arithmétique se ramenant à des intersections de droites.

i". — Règle de trois simple.

Elle se ramène au type : Si 25 mètres d'étoffe coûtent 30 francs y que coûtent 45 mètres ? Nous posons la proportionnalité entre le prix total et le nombre de mètres ; nous définissons ainsi une fonction linéaire^ et par suite une droite. Elle passe par l'origine des coordonnées, puisqu'un nombre nul de mètres coûte un prix nul.

Traçons deux axes de coordonnées , rectangulaires pour simplifier et pour utiliser les papiers quadrillés du commerce.

Prenons sur Ox une unité arbitraire ; par exemple, convenons qu'un mètre d'étoffe sera représenté par i^^ de papier. Prenons sur Oy une unité également arbitraire. Convenons qu'un franc sera représenté par une certaine longueur (fig. 48).

Les données du problème fixent le point A (;r = 25, y = 30); la droite OAB est, par suite, déterminée. Ce graphique obtenu, nous

Frjx E

Me/res

Fig. 18.

connaissons, par simple lecture et à une approximation d'autant plus grande que les échelles choisies sont plus grandes , le prix d'un nombre quelconque de mètres d'étoffe.

En effet, ce nombre détermine le point C; d'où le point D, en menant CD parallèle à 0?/ ; d'où enfin le point E, en menant DE parallèle à Ox.

La figure que nous avons construite , constitue le plus simple de tous les abaques.

^'\ — Règle de trois composée.

Elle se ramène au type : Si 5 ouvriers travaillant 10 heures gagnent SI) francs^ combien gagneront 7 ouvriers travaillant 8 heures?

Nous pouvons prendre pour variable x le nombre d'heures de travail d'un ouvrier, pour fonction y le salaire qui lui revient. Nous aurons donc ?/ === 35, pour a:=r 5 X ^0 = 'iO. Nous tracerons la droite correspondante. Le problème consiste à déterminer y pour x = lXS = ^6.

3". — Pkoblêmes des tkains, des robinets, ...

Ils se ramènent au type suivant : ^7* train I part à midi et fait 35 kilomètres à l'heure ; un train II part à une heure et fait 60 kilomètres à l'heure. A quelle heure se rencontrent-ils ?

Représentons la marche des deux trains dans l'hypothèse implicite que leur vitesse est uniforme , ou que les chemins parcourus sont proportionnels aux temps. Prenons midi j)our origine : t = o. Les deux droites figuratives des marches ont pour équations :

y est exprimé en kilomètres, / en heures. Nous sommes conduits à

résoudre le système ( 1 ) , ce qui revient à déterminer graphiquement le point A d'intersection des droites.

Au reste , c'est à l'aide de graphiques que les compagnies de chemins de fer représentent la marche de leurs trains. Pour simplifier la représentation, on suppose qu'entre deux arrêts les trains ont une vitesse constante égale à leur vitesse moyenne entre ces arrêts ; le graphique est donc composé de fragments de droites plus ou moins inclinées. Conformément ti la figure 19, les stations sont écrites dans une colonne verticale,

100 Kil

Fig. 19.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES

le long- d'un axe sur lequel sont portées les distances au terminus; les heures sont notées sur un axe horizontal: par suite, chaque temps correspond à une droite verticale. Les arrêts sont représentés par des fragments de droites horizontales. Un coup d'œil jeté sur le graphique permet de savoir où se font les croisements et si les trains peuvent conserver entre eux la distance réglementaire.

-/". — Fausse position.

On utilise souvent une méthode dite de fausse position, qui consiste à tâtonner systématiquement. Voici son appplication au problème précédent.

Calculons la distance MN des deux trains à une heure de l'aprèsmidi ; elle est évidemment 35 kilomètres : MN=35.

Calculons la distance PQ à deux heures. Le premier train a parcouru 35X2 = 70 kilomètres, le second en a parcouru 60 ; la distance est 10 kilomètres : PQ = 10.

La similitude des triangles AMN et APQ permet de calculer immédiatement le temps qui reste jusqu'à la rencontre.

5". — Partage proportionnel.

On demande de partager une somme S en n parties qui soient entre elles comme les n nombres a, j6, c, J, ...

Sur une droite quelconque portons bout à bout ces n quantités (4 dans le cas de la figure 20).

Prenons un point quelconque 0 ; joignons-le aux où commencent et finissent les segments a, b, c, d, Al tel que AA^^S, menons une parallèle à AO. où AjOi coupe OE, menons une parallèle à AE. cherchés sont a', b', c', d'.

En effet, ils sont proportionnels à a, b, c, d, en priétés des triangles semblables ; par construction, égale à S.

points ABGDE

... Par le point

Par le point E'

Les segments

vertu des proleur somme est

42 COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES On a : a =:— . , . -.—. , b ==

Les Règles de société sont des partages proportionnels, parfois compliqués du fait que les capitaux engagés ne doivent pas rapporter tous le même intérêt. On commence par calculer les capitaux fictifs a, j&, ... proportionnellement auxquels l'actif doit être partagé; puis on applique la règle précédente.

6*". — Règles des mélanges, alliages ; centres de gravité.

Tous ces problèmes se ramènent à chercher reffet de quantités A, B, C, ... agissant proportionnellement aux produits respectifs* de leurs valeurs par d'autres quantités a, b, c, ...

L'action de A est Aa ; l'action de B est B/>, ... ; l'action totale des grandeurs A, B, G, ... est donc mesurée par la somme :

Aa + B/>+... = >]Aa.

On obtient le même elîet en prenant une quantité :

afTectée du coefficient x qui satisfait à l'équation :

a.(A + B + ...)=::Aa-f-B/>... x = ~f^. (1)

La formule (1) détermine le contre de gravité de masses A, B, ... situées sur une droite aux distances a, A, ... d'une origine. Elle détermine le point d'application de la résultante de plusieurs forces parallèles. On retrouvera ces questions en Mécanique.

Elle permet (c'est alors qu'elle devient la Règle des mélanges) de déterminer le titre x d'un mélange de quantités A, B, ... dont les titres respectifs sont a, />, ...

Dans le cas de deux corps, on a la formule usuelle :

Aa -\- \\b ^— A + B •

Je laisse au lecteur le soin de trouver une construction géométrique donnante en fonction de A, B, a, />.