Distance de deux points. Angle de deux directions

/°. - Soit P(.r, y, z), P'(y, y\ z') les deux

Fig. 207.

points dont on demande la . distance A (fig. 207).

Menons par PP' un plan parallèle à Oz ; il coupe xOy suivant BD. Menons PA parallèle à BD. Enfin par les points B et D menons des parallèles à Ox et k Oy.

Dans les triangles rectangles APP' et CBD (dont les angles droits sont marqués), on a :

A^ == PÂ' -| ÂF^' = PÂ*^ -\- {z' — z)\

FÂ^ :r= BD^ = CD= + BG' = [y' — yY -]- [x' — x)\

D'où : ^^-=-U'-xY-\-(y'-yY + [z'~z)\ (1)

5°. — Les cosinus directeurs de la direction PP' sont, en vertu de la définition du cosinus :

On prendra le radical A positivement. Les quantités a, p, y? définissent donc la direction PP , de P vers P', et non la direction inverse. Pour définir la direction inverse, il faut intervertir les coordonnées : les cosinus sont changés de signes.

S°. — Soit une seconde direction PP" définie par les cosinus directeurs a, [i', y', calculés comme ci-dessus au moyen des coordonnées des points P et P". On a (ji 67, ."^") :

p-jr72^ A-'4- A'= — 2AA' cos 0.

Mais on a aussi : P'P"^=r(.r" — ./•')'- -f- (//" — y'y-\-{z" — ::')-. Remplaçons A et A' par leurs valeurs, simplifions ; il vient : AA'COSO = (^-' — :r)(j-" — . r) + (;/' — ;/)(;/' i/) + (z' — 5) (2" — 5), cose==aa' + 33' + ^7'. (3)

4'\ — Nous utiliserons fréquemment l'identité :

{H - ïP? + (•.-»' - =«7? + l=<P' - 3«')' = (»' + ?' + r) {'"- + r +■("-}

Dans le cas actuel, on a :

a' + ?' + V'-=l. a'^ + .3'2 + y* = l ; d'où :

sin* 0 = 1— cos* 0 = (^y' — Y^'y- + (' y^ — ^y')- + (a.3' — ^a')'-. (4)

5°. — Deux directions sont rectangulaires si l'on a :

a:<' + !3r + VT' = 0- (Si

317. Changement d'axes de coordonnées : les deux systèmes sont rectangulaires.

/°. — On passe d'un système d'axes rectangulaires x, y, z, à un système d'axes rectangulaires X, Y, Z. Les nouveaux axes sont

définis par rapport aux anciens par leurs cosinus directeurs ; ce que résume le tableau suivant :

Ainsi les cosinus des angles que OX fait avec O^r, 0/y, Oz, sont oc, (3, Y- Inversement les cosinus des angles que Ox fait avec OX, OY, OZ, sont a, a, a".

On a donc les six relations :

Mais les trois nouvelles directions OX, OY, OZ système trirectangle , de même que les anciennes. D'où les six relations :

forment un

aa' + .sp' + rr' - 0,

(3) ?r+PY + ^Y-0,

;^°. — Ces douze relations entre neuf quantités ne sont évidemment pas toutes distinctes. Cherchons combien nous avons réellement d'arbitraires.

Choisir OX, c'est nous donner deux cosinus, a, ,8, par exemple, puisque alors y est déterminé par la première équation (i). Ajouter OY, c'est nous donner un cosinus ; car OY devant être normal à OX, les quantités a.', |3', y', doivent satisfaire à la seconde équation (1) et à la première équation (3). Enfin OZ se trouve alors complètement déterminé, puisque les cosinus a", p", y " doivent satisfaire à la troisième équation (1) et aux deux dernières équations (3). Donc le choix du système d'axes OX, OY, OZ dépend de trois quantités. Ces quantités choisies, les autres six sont calculables au moyen des équations (1) et (3). Par conséquent, sur les douze conditions (1), (2), (3), (4), six seulement sont distinctes.

,?°. — Pour trouver les relations entre les anciennes et les nouvelles coordonnées, écrivons que la projection d'un côté AM d'un polygone sur une droite quelconque est égale à la somme des projections sur cette droite des autres côtés AB, BC, ..., LM, du polygone.

Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 25

Plus généralement , les projections sur une même droite de tous les chemins qui joignent deux points, sont égales. Nous avons immédiatement :

X = ax + p.v + Y3, ./• = aX + a Y + a"Z,

Y =. a'.r + ^'y + -;'., (5) ;/ = pX + ?' Y + p"Z , (6)

Z ^"^ + 0"^ | y- ; ^ - vX + T'Y + v"Z.

Les formules du J;; 78 rentrent dans les précédentes. Les coordonnées z disparaissent ; il reste :

X = yj- -\- fi// , ./• = atX -j- a' Y,

Y-~-a'.r + 3'.v; ;/=:[iX + ,VY.

On a de plus :

a=::cosO, fi^rsinO; :>;' r=r cos (0 -|-- .* 2) = — sin 0, ^'rzzCOSO.